Prove as seguintes identidades trigonométricas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar algumas identidades trigonométricas envolvendo o cosseno duplo. Estamos trabalhando com trigonometria, especialmente com identidades de ângulos duplos. Para resolver isso, vamos usar as identidades básicas de seno e cosseno e manipular as fórmulas para chegar nas igualdades pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a identidade fundamental de Pitágoras que relaciona o seno e o cosseno:
Isso é super útil porque podemos expressar o cosseno ou o seno ao quadrado em termos do outro.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo. A definição básica do cosseno de
é:
Essa é a primeira identidade que precisamos provar e que já está na forma desejada.
Passo 4
Para chegar nas outras formas, vamos manipular a identidade fundamental que mencionamos no Passo 2. Podemos resolver para
e para :
Isso nos permitirá substituir na fórmula do cosseno duplo.
Passo 5
Substituindo na identidade do Passo 3:
Então, mostramos que:
Passo 6
Agora, substituindo
na identidade do Passo 3:
Então, também temos:
Resposta
Demonstramos que: