Prove as seguintes identidades trigonométricas: cos 2 theta=cos ^2 theta-sen^2 theta=2 cos ^2 theta-1=1-2 sen^2 theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar algumas identidades trigonométricas envolvendo o cosseno duplo. Estamos trabalhando com trigonometria, especialmente com identidades de ângulos duplos. Para resolver isso, vamos usar as identidades básicas de seno e cosseno e manipular as fórmulas para chegar nas igualdades pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade fundamental de Pitágoras que relaciona o seno e o cosseno:
Isso é super útil porque podemos expressar o cosseno ou o seno ao quadrado em termos do outro.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo. A definição básica do cosseno de cos 2theta = cos^2 theta - sen^2 theta é:
Essa é a primeira identidade que precisamos provar e que já está na forma desejada.

Passo 4

Para chegar nas outras formas, vamos manipular a identidade fundamental que mencionamos no Passo 2. Podemos resolver para cos^2 theta = 1 - sen^2 theta e para :
Isso nos permitirá substituir na fórmula do cosseno duplo.

Passo 5

Substituindo na identidade do Passo 3:
cos 2theta = cos^2 theta - (1 - cos^2 theta) = 2cos^2 theta - 1
Então, mostramos que:
cos 2theta = 2cos^2 theta - 1

Passo 6

Agora, substituindo cos 2theta = (1 - sen^2 theta) - sen^2 theta = 1 - 2sen^2 theta na identidade do Passo 3:
Então, também temos:

Resposta

Demonstramos que:

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