Deduza fórmulas em termos de sen theta e cos theta de: sen 4 theta
6. Prove as seguintes identidades trigonométricas
(a) 1+tg^2 t=sec ^2 t

Passo 1

Nesta questão vamos deduzir a expressão de sen4theta em termos de sentheta e costheta, e depois provar a identidade 1+tg^2 t = sec^2 t. Para isso vamos usar as fórmulas de ângulo duplo e a identidade pitagórica.

Passo 2

Começamos lembrando a fórmula do seno do ângulo duplo, que vem da soma de ângulos:
sen2theta = sen(theta+theta) = 2sentheta,costheta
Isso nos dá sen2theta em termos de sentheta e costheta.

Passo 3

Em seguida usamos a fórmula do cosseno do ângulo duplo, também obtida pela soma de ângulos:
cos2theta = cos^2theta - sen^2theta
Essa expressão vai aparecer ao aplicarmos o seno de 2theta de novo.

Passo 4

Para obter sen4theta usamos a definição de seno de um ângulo duplo aplicado a 2theta:
sen4theta = sen(2cdot2theta) = 2sen2theta,cos2theta
Substituindo sen2theta=2senthetacostheta e cos2theta=cos^2theta-sen^2theta, temos
sen4theta = 2l(2senthetacosthetar),l(cos^2theta-sen^2thetar) = 4senthetacostheta,(cos^2theta-sen^2theta).

Passo 5

Agora vamos provar a identidade 1+tg^2 t = sec^2 t. Começamos lembrando que tgt=dfracsentcos t e sec t=dfrac1cos t. Então:
1+tg^2 t = 1 + sen^2 tcos^2 t = cos^2 t + sen^2 tcos^2 t = 1cos^2 t = sec^2 t
onde usamos a identidade pitagórica sen^2 t + cos^2 t = 1.

Resposta

sen4theta = 4senthetacostheta,(cos^2theta-sen^2theta) e 1+tg^2 t = sec^2 t.

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