Deduza o Método de Newton-Raphson, como consequência do Método do Ponto Fixo.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar como o Método de Newton–Raphson surge do Método do Ponto Fixo. O conteúdo é iteração de ponto fixo, em que buscamos uma função g tal que as raízes de f(x)=0 sejam pontos fixos de g, isto é, g(p)=p. Sabemos que para a iteração
x_{n+1}=g(x_n)
convergir a p com ordem de convergência maior, deveríamos ter g'(p)=0 (no caso, isso garante convergência superlinear ou quadrática).

Passo 2

Para converter nosso problema f(x)=0 em ponto fixo, escrevemos
x = x - \alpha(x)\,f(x)
ou seja, definimos em geral
g(x)=x - \alpha(x)\,f(x).
Note que se p é raiz de f, então f(p)=0 implica g(p)=p, logo p é ponto fixo de g.

Passo 3

Agora queremos que a iteração de g seja rápida, fazendo g'(p)=0. Calculamos
g'(x)=1 - \alpha(x)\,f'(x) - \alpha'(x)\,f(x).
Em x=p temos f(p)=0, logo
g'(p)=1 - \alpha(p)\,f'(p).
Impor g'(p)=0
\alpha(p)=\frac1{f'(p)}.
Como p é desconhecido, aproximamos \alpha(x) por 1/f'(x). Assim definimos
g(x)=x - \frac{f(x)}{f'(x)}.

Passo 4

A fórmula de iteração de ponto fixo para esse g fica
x_{n+1}=g(x_n) = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
que é exatamente o Método de Newton–Raphson. Além disso, como g'(p)=0 e g''(p) é finito, a convergência é quadrática.

Resposta

A iteração de Newton–Raphson é
\boxed{ x_{n+1} \;=\; x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. }

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