Deduza o Método de Newton-Raphson, como consequência do Método do Ponto Fixo.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar como o Método de Newton–Raphson surge do Método do Ponto Fixo. O conteúdo é iteração de ponto fixo, em que buscamos uma função
tal que as raízes de
sejam pontos fixos de
, isto é,
. Sabemos que para a iteração
convergir a
com ordem de convergência maior, deveríamos ter
(no caso, isso garante convergência superlinear ou quadrática).
Passo 2
Para converter nosso problema
em ponto fixo, escrevemos
ou seja, definimos em geral
Note que se
é raiz de
, então
implica
, logo
é ponto fixo de
.
Passo 3
Agora queremos que a iteração de
seja rápida, fazendo
. Calculamos
Em
temos
, logo
Impor
dá
Como
é desconhecido, aproximamos
por
. Assim definimos
Passo 4
A fórmula de iteração de ponto fixo para esse
fica
que é exatamente o Método de Newton–Raphson. Além disso, como
e
é finito, a convergência é quadrática.
Resposta
A iteração de Newton–Raphson é