Seja \xi uma raíz da equação f(x)=0, isolada em um intervalo I centrado em \xi. Seja \varphi uma função de iteração para a equação f(x)=0. Se:
  • \varphi \in C^{1}(I);
  • \left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq M<1;
  • x_{0} \in I.
Então, a sequência \left(x_{n}\right) gerada pela iteração x_{n+1}=\varphi\left(x_{n}\right) converge para \xi.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma equação f(x)=0 com raiz isolada \xi em um intervalo I centrado em \xi, e uma função de iteração \varphi\colon I\to I tal que
  1. \varphi\in C^1(I);
  2. \bigl|\varphi'(x)\bigr|\le M<1 para todo x\in I;
  3. a aproximação inicial x_0 está em I.
    Queremos mostrar que a sequência
x_{n+1} = \varphi(x_n)
converge para \xi. O conteúdo usado será o Teorema do Ponto Fixo para contrações em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que \xi é ponto fixo de \varphi: como \xi é raiz de f e \varphi é função de iteração para f, vale
\varphi(\xi)=\xi.
Em seguida, pela condição \bigl|\varphi'(x)\bigr|\le M<1 e pelo Teorema do Valor Médio, para todo x\in I existe c entre x e \xi tal que
\bigl|\varphi(x)-\varphi(\xi)\bigr| = \bigl|\varphi'\text{(c)}\bigr|\,|x-\xi| \le M\,|x-\xi|.
Isso mostra que \varphi é uma contração em I. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo em I (que é \xi) e \varphi leva I em si mesma.

Passo 3

Prova da convergência iterativa: usando a propriedade de contração, se \,x_n\in I então
|x_{n+1}-\xi| = \bigl|\varphi(x_n)-\varphi(\xi)\bigr| \le M\,|x_n-\xi|.
Por indução segue que para todo n\ge0
|x_n-\xi|\le M^n\,|x_0-\xi|.
Como 0\le M<1, temos M^n\to0 quando n\to\infty. Logo |x_n-\xi|\to0, ou seja, x_n\to\xi.

Resposta

A sequência \bigl(x_n\bigr) gerada por x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para \xi e satisfaz o erro estimado
|x_n-\xi|\le M^n\,|x_0-\xi|\quad(\text{com }M<1).

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