Seja \xi uma raíz da equação f(x)=0, isolada em um intervalo I centrado em \xi. Seja \varphi uma função de iteração para a equação f(x)=0. Se:
\varphi \in C^{1}(I);
\left|\varphi^{\prime}(x)\right| \leq M<1;
x_{0} \in I.
Então, a sequência \left(x_{n}\right) gerada pela iteração x_{n+1}=\varphi\left(x_{n}\right) converge para \xi.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma equação f(x)=0 com raiz isolada \xi em um intervalo I centrado em \xi, e uma função de iteração \varphi\colon I\to I tal que
\varphi\in C^1(I);
\bigl|\varphi'(x)\bigr|\le M<1 para todo x\in I;
a aproximação inicial x_0 está em I.
Queremos mostrar que a sequência
x_{n+1} = \varphi(x_n)
converge para \xi. O conteúdo usado será o Teorema do Ponto Fixo para contrações em \mathbb{R}.
Passo 2
Mostramos que \xi é ponto fixo de \varphi: como \xi é raiz de f e \varphi é função de iteração para f, vale
\varphi(\xi)=\xi.
Em seguida, pela condição \bigl|\varphi'(x)\bigr|\le M<1 e pelo Teorema do Valor Médio, para todo x\in I existe c entre x e \xi tal que
Isso mostra que \varphi é uma contração em I. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo em I (que é \xi) e \varphi leva I em si mesma.
Passo 3
Prova da convergência iterativa: usando a propriedade de contração, se \,x_n\in I então