Seja f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} uma contínua. Seja também \varphi:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} a função de iteração associada ao problema de determinar x, tal que f(x)=0. Então, f\text{(c)}=0 se, e somente se, \varphi\text{(c)}=c.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua \,f\colon[a,b]\to\mathbb{R} e uma “função de iteração” \varphi\colon[a,b]\to\mathbb{R} associada ao problema de resolver
f(x)=0.
Por construção de toda função de iteração, existe uma função contínua h\colon[a,b]\to\mathbb{R} tal que
\varphi(x)-x = h(x)\,f(x),
com h(x)\neq 0 para todo x\in[a,b]. Nosso objetivo é mostrar que
f\text{(c)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi\text{(c)}=c.

Passo 2

Suponha que f\text{(c)}=0. Então da relação
\varphi\text{(c)}-c = h\text{(c)}\,f\text{(c)}
temos
\varphi\text{(c)}-c = h\text{(c)}\cdot 0 = 0,
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\varphi\text{(c)}=c.

Passo 3

Agora suponha que \varphi\text{(c)}=c. Ainda da mesma relação,
\varphi\text{(c)}-c = 0
implica
h\text{(c)}\,f\text{(c)}=0.
Como h\text{(c)}\neq 0, segue imediatamente que
f\text{(c)}=0.

Resposta

Ficou demonstrado que
f\text{(c)}=0\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi\text{(c)}=c.

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