Deduza a regra de 3 / 8 de Simpson.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a regra de Simpson 3/8, que é uma fórmula de Newton–Cotes fechada de grau 3 para aproximar a integral
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x.
Para isso, vamos interpolar f em quatro pontos uniformemente espaçados e integrar o polinômio de Lagrange resultante.

Passo 2

Escolhemos os nós
x_0 = a,\quad x_1 = a + h,\quad x_2 = a + 2h,\quad x_3 = a + 3h = b,
onde
h = \frac{b - a}{3}.
O polinômio interpolador de Lagrange de grau 3 é
P_3(x) = \sum_{i=0}^{3} f(x_i)\,L_i(x),
com
L_i(x) = \prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 3

Para facilitar a integração, fazemos a mudança de variável
t = \frac{x - a}{h},\quad x = a + h\,t,\quad t\in[0,3].
Então
\int_{a}^{b} P_3(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{3} P_3(a + h\,t)\,h\,\mathrm{d}t = h \int_{0}^{3} \sum_{i=0}^{3} f(x_i)\,\ell_i(t)\,\mathrm{d}t,
onde \ell_i(t) são os polinômios de base em t:
\ell_0(t)= -\frac{(t-1)(t-2)(t-3)}{6},\quad \ell_1(t)= \frac{t(t-2)(t-3)}{2},
\ell_2(t)= -\frac{t(t-1)(t-3)}{2},\quad \ell_3(t)= \frac{t(t-1)(t-2)}{6}.

Passo 4

Calculamos os pesos integrando cada \ell_i(t) de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\ell_0(t)\,\mathrm{d}t = \frac{3}{8},\quad \int_{0}^{3}\ell_1(t)\,\mathrm{d}t = \frac{9}{8},
\int_{0}^{3}\ell_2(t)\,\mathrm{d}t = \frac{9}{8},\quad \int_{0}^{3}\ell_3(t)\,\mathrm{d}t = \frac{3}{8}.
Logo,
\int_{a}^{b}P_3(x)\,\mathrm{d}x = h\Bigl(\tfrac{3}{8}f(x_0)+\tfrac{9}{8}f(x_1)+\tfrac{9}{8}f(x_2)+\tfrac{3}{8}f(x_3)\Bigr).

Passo 5

Voltando às abscissas originais x_i e lembrando que h=(b-a)/3, obtemos a regra de Simpson 3/8:
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].

Resposta

\boxed{\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{3(b-a)}{24}\Bigl[f(a)+3f\bigl(a+\tfrac{b-a}{3}\bigr)+3f\bigl(a+\tfrac{2(b-a)}{3}\bigr)+f(b)\Bigr]}
ou, equivalentemente,
\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(a+3h)\bigr].

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