Deduzir uma equação
a) da elipse cujos focos são, F_{1}(-1,-1) e F(1,1) e o eixo maior é 4 \sqrt{2}.
b) da hipérbole cujos focos F_{1}(-1,-1) e F(1,1) e o eixo é \sqrt{2}.
c) da parábola de foco F(0,0) e diretriz y=2.

Passo 1

O enunciado pede três equações de cônicas usando definições clássicas:
– Para a elipse, a soma das distâncias de um ponto (x,y) aos focos é constante igual a 2a.
– Para a hipérbole, a diferença das distâncias de um ponto (x,y) aos focos é constante igual a 2a.
– Para a parábola, a distância de um ponto (x,y) ao foco é igual à distância à diretriz.
Os focos dados em (a) e (b) são F_1(-1,-1) e F_2(1,1), o que sugere um eixo principal na direção da reta y=x. Em (c) o foco é (0,0) e a diretriz é y=2.

Passo 2

Elipse com focos em F_1(-1,-1), F_2(1,1) e eixo maior de comprimento 4\sqrt{2}.
  1. Distância focal
2c = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad c = \sqrt{2}.
  1. Semi-eixo maior
2a = 4\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad a = 2\sqrt{2}.
  1. Semi-eixo menor pela relação b^2 = a^2 - c^2:
b^2 = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6.
  1. Rotacionar 45\circ para alinhar com y=x. Defina
u = \frac{x+y}{\sqrt{2}}, \quad v = \frac{x-y}{\sqrt{2}}.
No sistema (u,v) a elipse é
\frac{u^2}{a^2} + \frac{v^2}{b^2} = 1.
Substituindo a^2=8 e b^2=6 e voltando a (x,y) obtém-se
\frac{(x+y)^2}{16} \;+\;\frac{(x-y)^2}{12} \;=\;1.

Passo 3

Hipérbole com mesmos focos e eixo transverso de comprimento \sqrt{2}.
  1. Novamente c = \sqrt{2}.
  2. Semi-eixo transverso
2a = \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{\sqrt{2}}{2}.
  1. Semi-eixo conjugado
b^2 = c^2 - a^2 = 2 - \tfrac12 = \tfrac32.
  1. Mesma rotação 45\circ, com u,v definidos acima, a hipérbole é
\frac{u^2}{a^2} \;-\;\frac{v^2}{b^2} = 1.
Como a^2=\tfrac12 e b^2=\tfrac32, em (x,y) fica
\frac{(x+y)^2}{\tfrac12\cdot2} \;-\;\frac{(x-y)^2}{\tfrac32\cdot2} = 1 \;\Longrightarrow\; (x+y)^2 \;-\;\tfrac{1}{3}(x-y)^2 = 1.

Passo 4

Parábola com foco F(0,0) e diretriz y=2. Pela definição
\sqrt{x^2 + y^2} = |y - 2|.
Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2 + y^2 = (y-2)^2 = y^2 - 4y + 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = -4y + 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 - \frac{x^2}{4}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{(x+y)^2}{16} + \frac{(x-y)^2}{12} = 1
b) \displaystyle (x+y)^2 \;-\;\tfrac{1}{3}\,(x-y)^2 = 1
c) \displaystyle y = 1 - \frac{x^2}{4}

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