Determine o valor de k para que e reta
\frac{2 x}{9}+\frac{k y}{4}=1,
seja tangente à elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 .
[Dica: Use o Exercício30].]

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que a reta
\frac{2x}{9}+\frac{k\,y}{4}=1
seja tangente à elipse
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
O conteúdo principal é geometria analítica: usar a forma reduzida da reta y=mx+c e a condição de tangência a uma elipse de semi-eixos a e b, que diz
c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}.

Passo 2

Vamos isolar y na equação da reta para identificar o coeficiente angular m e o coeficiente linear c. Partindo de
\frac{2x}{9}+\frac{k\,y}{4}=1
temos
\frac{k\,y}{4}=1-\frac{2x}{9} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{4}{k}-\frac{8}{9k}\,x.
Logo
m=-\frac{8}{9k}, \quad c=\frac{4}{k}.

Passo 3

Na elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 com a^{2}=9 e b^{2}=4, a condição de tangência da reta y=mx+c é
c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}.

Passo 4

Substituindo m, c, a^{2} e b^{2} na condição de tangência:
\Bigl(\frac{4}{k}\Bigr)^{2} =9\Bigl(-\frac{8}{9k}\Bigr)^{2}+4.
Calculando os termos,
\frac{16}{k^{2}} =9\cdot\frac{64}{81\,k^{2}}+4 =\frac{64}{9\,k^{2}}+4.
Multiplicando tudo por k^{2}:
16=\frac{64}{9}+4\,k^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4\,k^{2}=16-\frac{64}{9} =\frac{144-64}{9} =\frac{80}{9}.
Daí
k^{2}=\frac{80}{36}=\frac{20}{9}.

Passo 5

Extraindo a raiz,
k=\pm\sqrt{\frac{20}{9}} =\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}.

Resposta

k=\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}.

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