Deduzir uma equação
a) da elipse cujos focos são,
e
e o eixo maior é
.
b) da hipérbole cujos focos
e
e o eixo é
.
c) da parábola de foco
e diretriz
.
a) da elipse cujos focos são,
b) da hipérbole cujos focos
c) da parábola de foco
Passo 1
O enunciado pede três equações de cônicas usando definições clássicas:
– Para a elipse, a soma das distâncias de um ponto aos focos é constante igual a
.
– Para a hipérbole, a diferença das distâncias de um ponto aos focos é constante igual a
.
– Para a parábola, a distância de um ponto ao foco é igual à distância à diretriz.
Os focos dados em (a) e (b) são e
, o que sugere um eixo principal na direção da reta
. Em (c) o foco é
e a diretriz é
.
– Para a elipse, a soma das distâncias de um ponto
– Para a hipérbole, a diferença das distâncias de um ponto
– Para a parábola, a distância de um ponto
Os focos dados em (a) e (b) são
Passo 2
Elipse com focos em
,
e eixo maior de comprimento
.
- Distância focal
- Semi-eixo maior
- Semi-eixo menor pela relação
:
- Rotacionar
para alinhar com . Defina
No sistema
a elipse é
Substituindo
e
e voltando a
obtém-se
Passo 3
Hipérbole com mesmos focos e eixo transverso de comprimento
.
- Novamente
. - Semi-eixo transverso
- Semi-eixo conjugado
- Mesma rotação
, com definidos acima, a hipérbole é
Como
e
, em
fica
Passo 4
Parábola com foco
e diretriz
. Pela definição
Elevando ao quadrado e simplificando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)