Deduzir a equação do elipsóide tipico (centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados), que passa pelos pontos dados. Utilizar a forma A x^2+b y^2+C z^2=D.
(raiz3, 1,1),(1, raiz3,-1),(-1,-1, raiz5).

Passo 1

Estamos lidando com um elipsóide centrado na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados. O enunciado pede a forma
A x^2 + B y^2 + C z^2 = D
e que passe pelos pontos
(raiz3,1,1),,(1,raiz3,-1),,(-1,-1,raiz5). Vamos usar substituição dos pontos e resolver um sistema linear para encontrar A, B, C e D.

Passo 2

Para determinar unicamente os coeficientes, observamos que podemos multiplicar toda a equação por uma constante sem alterar o lugar geométrico. Portanto, escolhemos D = 1 (forma canônica) e substituímos cada ponto no lado esquerdo. Assim obtemos o sistema
3A + B + C = 1
A + 3B + C = 1
A + B + 5C = 1
onde espalhamos x^2,y^2,z^2 de cada ponto.

Passo 3

Agora simplificamos o sistema subtraindo equações para achar relações entre as incógnitas. Fazendo (segunda menos primeira):
(A + 3B + C) - (3A + B + C) = 0
que dá
-2A + 2B = 0 Rightarrow B = A
Fazendo (terceira menos segunda):
(A + B + 5C) - (A + 3B + C) = 0
que dá
-2B + 4C = 0 Rightarrow B = 2C

Passo 4

Com B = A e B = 2C temos A = 2C. Substituímos em uma das equações originais, por exemplo na primeira:
3(2C) + (2C) + C = 1
6C + 2C + C = 1 Rightarrow 9C = 1 Rightarrow C = tfrac19
Logo
A = 2C = tfrac29, B = tfrac29

Passo 5

A equação canônica do elipsóide fica
tfrac29x^2 + tfrac29y^2 + tfrac19z^2 = 1
Multiplicando tudo por 9 para limpar frações, obtemos a forma mais usual:

Passo 6

2x^2 + 2y^2 + z^2 = 9

Resposta

2x^2 + 2y^2 + z^2 = 9

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