Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos, cujas distâncias a
e
estão na razão de
.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
tais que a distância a
e a distância a
estão na razão
. O conteúdo é aplicação do lugar geométrico de Apollônio no espaço, usando fórmula de distância entre pontos.
Passo 2
A condição
implica na relação das distâncias:
Logo,
Passo 3
Substituindo as expressões de
e
:
$$16\bigl((x-1)2+(y-1)2+(z+2)2\bigr)=9\bigl((x+2)2+(y-3)2+(z-2)2\bigr).
$$
Passo 4
Expandindo ambos os lados e juntando termos semelhantes, chega-se em:
Passo 5
Dividindo por 7 e completando quadrados para identificar centro e raio, obtém-se a forma padrão da esfera. O centro é
e o raio é
.
Resposta
x2+y2+z^2 - \frac{68}{7}x + \frac{22}{7}y + \frac{100}{7}z - \frac{57}{7} = 0