Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos, cujas distâncias a (1,1,-2) e (-2,3,2) estão na razão de 3: 4.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y,z) tais que a distância a A=(1,1,-2) e a distância a B=(-2,3,2) estão na razão 3:4. O conteúdo é aplicação do lugar geométrico de Apollônio no espaço, usando fórmula de distância entre pontos.

Passo 2

A condição PA:PB = 3:4 implica na relação das distâncias:
PA = raiz(x-1)^2+(y-1)^2+(z+2)^2, PB = raiz(x+2)^2+(y-3)^2+(z-2)^2
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PAPB = 34 implies PA^2PB^2=916 implies 16,PA^2 = 9,PB^2

Passo 3

Substituindo as expressões de PA^2 e PB^2:
$$16\bigl((x-1)2+(y-1)2+(z+2)2\bigr)=9\bigl((x+2)2+(y-3)2+(z-2)2\bigr).
$$

Passo 4

Expandindo ambos os lados e juntando termos semelhantes, chega-se em:
7x^2+7y^2+7z^2-68x+22y+100z-57=0

Passo 5

Dividindo por 7 e completando quadrados para identificar centro e raio, obtém-se a forma padrão da esfera. O centro é C=(tfrac347,-tfrac117,-tfrac507) e o raio é R=tfrac12raiz297.

Resposta

x2+y2+z^2 - \frac{68}{7}x + \frac{22}{7}y + \frac{100}{7}z - \frac{57}{7} = 0

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