Deduzir a equação que fornece a capacidade da centrifuga fil trante e comparar o resultado com as equações 14.22 e 14.36 de L. Svarovsky Sugestão: Combinar as equações do movimento do fluido para cada uma das 2 camadas que se formam na centrífuga, quais se j a m, camada de suspensão e torta depositada e mais para o meio filtrante. A equação de movimento no campo centrífugo toma a forma
0=-d pd r-muk q2 pi r h+rho r Omega^2
onde:
p - pressão no fluido;
r - distância radial;
\psi - viscosidade do fluido;
k - permeabilidade do meio;
Q - vazão de fluido;
h - altura da centrífuga;
\rho - densidade do fluido;
\Omega - velocidade angular da cesta filtrante

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente deduza a equação que dá a vazão (capacidade) de uma centrífuga filtrante, combinando a equação de movimento em campo centrífugo para duas camadas (camada de suspensão/torta e meio filtrante). Isso é conteúdo de mecânica dos fluidos e filtração: vamos usar a equação de movimento no referencial giratório, a lei de Darcy para fluxo em meios porosos e integrar em coordenadas cilíndricas radiais.

Passo 2

A equação de movimento dada é
0 ;=; -dpdr;-;muk,q2pi,r,h;+;rho,r,Omega^2
Ela diz que, em regime permanente, a soma das forças por unidade de volume (gradiente de pressão, resistência viscosa no meio poroso via Darcy, e “força centrífuga” rho rOmega^2) anula.
Reorganizando, a gente isola o gradiente de pressão:
dpdr ;=; -muk,q2pi,r,h;+;rho,r,Omega^2

Passo 3

Agora integra essa equação entre dois raios ri e ri+1 de uma camada genérica (permeabilidade ki). Fazendo
De
cada termo dá:
– Pelo termo Darcy:
-mu,q2pi,h,kiintegralri^ri+1drr ;=; -mu,q2pi,h,kiln!ri+1ri
– Pelo termo centrífugo:
rho,Omega^2integralri^ri+1r,dr ;=; rho,Omega^22l(ri+1^2 - ri^2r)
Assim
$$
\Delta p_i

-\frac{\mu,q}{2\pi,h,k_i}\ln\frac{r_{i+1}}{r_i}
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_{i+1}2 - r_i^2\bigr).
$$

Passo 4

Para duas camadas – camada de torta (índice c, de r0 a r1) e meio filtrante (índice m, de r1 a r2) – a pressão total que “cai” da entrada ( r0) à saída ( r2) é a soma:
$$
\Delta p

\Delta p_c + \Delta p_m.
Deçãá
\Delta p

-\frac{\mu,q}{2\pi,h}
\Bigl[\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}+\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}\Bigr]
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr).
$$

Passo 5

Só isolar q na expressão acima:
$$
\frac{\mu,q}{2\pi,h}
\Bigl[\tfrac{1}{k_c}\ln\tfrac{r_1}{r_0}+\tfrac{1}{k_m}\ln\tfrac{r_2}{r_1}\Bigr]

\rho,\frac{\Omega2}{2}(r_22 - r_0^2);-;\Delta p
mu,q2pi,h l[tfrac1kclntfracr1r0+tfrac1kmlntfracr2r1r] = rho,Omega^22(r2^2 - r0^2);-;De
q

\frac{2\pi,h}{\mu};
\frac{\Delta p ;-;\frac{\rho,\Omega2}{2}(r_22 - r_0^2)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln!\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln!\frac{r_2}{r_1}
}.
$$
Essa forma é exatamente a estrutura das equações 14.22 (quando o meio é homogêneo ou a torta é incompressível) e 14.36 (quando se considera compressibilidade do leito): um “delta de pressão efetivo” dividido pela soma das resistências hidráulicas de cada camada.

Resposta

$$
\boxed{
q

\frac{2\pi,h}{\mu},
\frac{\Delta p - \tfrac{\rho,\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}
}
}
$$

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