Deduzir a equação que fornece a capacidade da centrifuga fil trante e comparar o resultado com as equações 14.22 e 14.36 de L. Svarovsky Sugestão: Combinar as equações do movimento do fluido para cada uma das 2 camadas que se formam na centrífuga, quais se
, camada de suspensão e torta depositada e mais para o meio filtrante. A equação de movimento no campo centrífugo toma a forma
onde:
p - pressão no fluido;
r - distância radial;
\psi - viscosidade do fluido;
k - permeabilidade do meio;
Q - vazão de fluido;
h - altura da centrífuga;
\rho - densidade do fluido;
\Omega - velocidade angular da cesta filtrante
p - pressão no fluido;
r - distância radial;
\psi - viscosidade do fluido;
k - permeabilidade do meio;
Q - vazão de fluido;
h - altura da centrífuga;
\rho - densidade do fluido;
\Omega - velocidade angular da cesta filtrante
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente deduza a equação que dá a vazão (capacidade) de uma centrífuga filtrante, combinando a equação de movimento em campo centrífugo para duas camadas (camada de suspensão/torta e meio filtrante). Isso é conteúdo de mecânica dos fluidos e filtração: vamos usar a equação de movimento no referencial giratório, a lei de Darcy para fluxo em meios porosos e integrar em coordenadas cilíndricas radiais.
Passo 2
A equação de movimento dada é
Ela diz que, em regime permanente, a soma das forças por unidade de volume (gradiente de pressão, resistência viscosa no meio poroso via Darcy, e “força centrífuga”
) anula.
Reorganizando, a gente isola o gradiente de pressão:
Reorganizando, a gente isola o gradiente de pressão:
Passo 3
Agora integra essa equação entre dois raios
e
de uma camada genérica (permeabilidade
). Fazendo
cada termo dá:
– Pelo termo Darcy:
– Pelo termo centrífugo:
Assim
$$
\Delta p_i
-\frac{\mu,q}{2\pi,h,k_i}\ln\frac{r_{i+1}}{r_i}
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_{i+1}2 - r_i^2\bigr).
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_{i+1}2 - r_i^2\bigr).
$$
Passo 4
Para duas camadas – camada de torta (índice
, de
a
) e meio filtrante (índice
, de
a
) – a pressão total que “cai” da entrada (
) à saída (
) é a soma:
$$
\Delta p
\Delta p_c + \Delta p_m.
\Delta p
-\frac{\mu,q}{2\pi,h}
\Bigl[\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}+\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}\Bigr]
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr).
\Bigl[\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}+\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}\Bigr]
;+;
\rho,\frac{\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr).
$$
Passo 5
Só isolar
na expressão acima:
$$
\frac{\mu,q}{2\pi,h}
\Bigl[\tfrac{1}{k_c}\ln\tfrac{r_1}{r_0}+\tfrac{1}{k_m}\ln\tfrac{r_2}{r_1}\Bigr]
\rho,\frac{\Omega2}{2}(r_22 - r_0^2);-;\Delta p
q
\frac{2\pi,h}{\mu};
\frac{\Delta p ;-;\frac{\rho,\Omega2}{2}(r_22 - r_0^2)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln!\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln!\frac{r_2}{r_1}
}.
\frac{\Delta p ;-;\frac{\rho,\Omega2}{2}(r_22 - r_0^2)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln!\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln!\frac{r_2}{r_1}
}.
$$
Essa forma é exatamente a estrutura das equações 14.22 (quando o meio é homogêneo ou a torta é incompressível) e 14.36 (quando se considera compressibilidade do leito): um “delta de pressão efetivo” dividido pela soma das resistências hidráulicas de cada camada.
Essa forma é exatamente a estrutura das equações 14.22 (quando o meio é homogêneo ou a torta é incompressível) e 14.36 (quando se considera compressibilidade do leito): um “delta de pressão efetivo” dividido pela soma das resistências hidráulicas de cada camada.
Resposta
$$
\boxed{
q
\frac{2\pi,h}{\mu},
\frac{\Delta p - \tfrac{\rho,\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}
}
}
\frac{\Delta p - \tfrac{\rho,\Omega2}{2}\bigl(r_22 - r_0^2\bigr)}
{\displaystyle
\frac{1}{k_c}\ln\frac{r_1}{r_0}
;+;
\frac{1}{k_m}\ln\frac{r_2}{r_1}
}
}
$$