Equacionar o problema da filtração a pressão variãvel com formação de torta incompressível: a alimentação da suspensão é realizada com uma bomba centrífuga de curva característica conhecida.
Deseja-se filtrar uma suspensão aquosa de CaCO3 em filtro de laboratório com 470 cm^2 de área filtrante. Esta filtração deverá ser feita com o auxilio da bomba centrífuga cujos dados característicos são:
Vazão ( ell / hr ) 8000 6000 4500 1000
Carga (m de ägua) 32 36 39 42
Estabelecer a dependência entre o volume de filtrado e a espessura da torta com o tempo de filtração, sabendo-se que:
a) A temperatura na filtração é de 20^circ C;
b) A suspensão contém 50 g de sólido/ ell;
c) Características da torta: alpha=9,25 times 10^8 cm g^-1, varepsilon=0,68
$$
\left(p_{s}=2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right) ;

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede: a gente tem uma filtração com formação de torta incompressível e pressão variando porque em vez de uma fonte de pressão fixa, a suspensão é bombeada por uma bomba centrífuga que tem uma curva característica (carga × vazão).
Conteúdo: teoria de filtração (Lei de Darcy + equação de Carman–Kozeny para torta incompressível) e curva da bomba (relaçã o carga vs vazão).
O que a gente precisa:
  1. Ajustar a curva carga dVdt = Q = De vs vazão .
  2. Usar a equação diferencial de filtração com e .
  3. Integrar pra achar em função de .
  4. Relacionar a espessura da torta com .

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir os dados da curva da bomba em um ajuste linear simplificado. Temos os pares (vazão (8000,32),;(6000,36),;(4500,39),;(1000,42) em L/h , carga h(Q) approx a + b,Q, em m de água):
a = 44,11;m, b = -1,4065times10^-3;mL/h
Fazendo um ajuste de mínimos quadrados, obtemos:
h(Q) ;=; 44,11 ;-; 1,4065times10^-3;Q l[Q em L/h, h em mr]
com
Ou seja

Passo 3

Teoria de filtração incompressível (Lei de Darcy + torta fixa):
  • A resistência da torta depois de filtrar volume Rtorta(V) = alpha,Cb,VA, é dVdt = Q = Deonde
    A=470;cm^2=0,047;m^2, Cb=50;gL=50;kgm^3, mu=1,0times10^-3;Pa·s, rhorm águag=9810;Pam = resistência específica da torta,
    = concentração de sólidos na alimentação [kg/m³],
    = área do filtro [m²].
  • A lei de Darcy diz Aqui vamos supor que a resistência do meio filtrante é desprezível diante da torta.
  • A pressão diferencial é á.
Unidades principais:
á

Passo 4

Colocando tudo junto temos
Rtorta(V) = alpha,Cb,VA, De
E a vazão é
Q = dVdt = 9810,h(Q)mu,l(alpha,Cb,tfracVAr) = 9810l(a + b,Qr)mu,alpha,Cb,tfracVA
Reorganizando para achar Q;l(mu,alpha,Cb,tfracVAr) =9810,a ;+;9810,b,Q ;;Longrightarrow;; Ql(mu,alpha,Cb,tfracVA-9810,br) =9810,a explícito:
M(V)=mu,alpha,Cb,VA, B=9810,b,
Definindo
Q=9810,aM(V)-B
vem

Passo 5

Agora invertemos para isolar dVdt=Q Longrightarrow dt=M(V)-B9810,a,dV e integrar em função de t =integral0^V M(V')-B9810,a;dV' =19810,al[ mu,alpha,CbA,V^22 ;-;B,V r] :
a=44,11, b=-1,4065times10^-3, B=9810,b=-13,80;PaL/h,
Sabendo que t approx 1,1370times10^4;V^2 ;-;1,148times10^2;V l[t em s, V em m^3r] , fazemos a integral de a :
Substituindo os valores numéricos:
, ,
, , .
O cálculo dá

Passo 6

Falta agora a espessura de da torta em função de de. Como a torta ocupa o volume dos sólidos depositados num bolo de área e porosidade , tem-se
ó
Com e ,

Resposta

Dependência entre volume de filtrado boxed t approx 1,1370times10^4;V^2 ;-;1,148times10^2;V l[t em s, V em m^3r] e tempo boxed de:
Espessura da torta em função de :

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