- Deseja-se efetuar uma separação sólido-fluido através das operações, em sequência, de sedimentação e filtração. O sedimentador é um Dorr-Oliver contínuo e o filtro um prensa tradicional. Faça uma análise relacionando as áreas de sedimentação e filtração requeridas em função da concentração do lodo que deixa o sedimentador. Assinalar claramente as hipóteses e simplificações feitas.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: a gente quer tirar sólidos de um fluido usando duas operações em série – primeiro um sedimentador contínuo Dorr-Oliver, depois uma prensa de filtro. A parada é: “como variam as áreas de sedimentação (A_sed) e de filtração (A_fil) quando eu mudo a concentração do lodo sólido que sai do sedimentador (vamos chamar de C_s)?”
Conteúdo envolvido:
- Balanço de massa de sólidos (feed, underflow e overflow).
- Teoria de thickeners/Dorr-Oliver para achar A_sed.
- Teoria de filtração por prensa (fórmula do bolo incompressível, resistência de bolo α, viscosidade μ, pressão ΔP) para achar A_fil.
O que precisamos:
- Vazão de alimentação Q [m³/s] e concentração inicial de sólidos C_i [kg sólido/m³ de suspensão].
- Concentração de sólidos no clarificado (podemos assumir C_e≈0 para simplificar).
- Concentração do bolo que sai do sedimentador C_s [kg sólido/m³ de suspensão] (variável).
- Velocidade de queda (ou “surface overflow rate”) v_s [m/s] para o sedimentador.
- Parâmetros de filtração: viscosidade μ, resistência de bolo α, pressão ΔP, densidade do sólido ρ_s (assumiremos conhecidos).
Passo 2
Resolvendo o sedimentador contínuo
- Balanço de sólidos:
Q·C_i = Q_o·C_e + Q_u·C_s,
mas assumo C_e≈0 → Q·C_i = Q_u·C_s → Q_u = Q·(C_i/C_s). - Vazão de clarificado (overflow) Q_o = Q – Q_u = Q·(1 – C_i/C_s).
- Teoria do Dorr-Oliver diz que a área mínima vem da taxa superficial:
A_sed = Q_o / v_s
= [Q·(1 – C_i/C_s)] / v_s.
Em forma de fórmula Latex:
A_{sed} ;=;\frac{Q,\bigl(1 - \tfrac{C_i}{C_s}\bigr)}{v_s}
A_{sed} ;=;\frac{Q,\bigl(1 - \tfrac{C_i}{C_s}\bigr)}{v_s}
Passo 3
Resolvendo a prensa de filtro (modelo de bolo incompressível)
- A vazão de sólidos que chega à prensa é M_s = Q_u·C_s = Q·C_i.
- Para filtração a pressão constante, o tempo de filtração por volume V é
t = \frac{\mu,\alpha,C_s,V2}{2,A2,\Delta P} + \frac{\mu,R_m,V}{A,\Delta P}.
Vamos simplificar e assumir que a resistência do meio R_m é desprezível frente à do bolo:
t \approx \frac{\mu,\alpha,C_s,V2}{2,A2,\Delta P}. - Se V é o volume de suspensão filtrada num ciclo de tempo t, temos V = M_s/C_s (massa/conc.).
Substituindo:
t = \frac{\mu,\alpha,C_s,(M_s/C_s)2}{2,A2,\Delta P}
= \frac{\mu,\alpha,M_s2}{2,A2,\Delta P,C_s}. - Rearranjando para A (para um ciclo de tempo t fixa):
A_{fil} = M_s ;\sqrt{\frac{\mu,\alpha}{2,\Delta P,C_s,t}},.
Em Latex:
A_{fil} ;=; M_s;\sqrt{\frac{\mu,\alpha}{2,\Delta P,C_s,t}}
A_{fil} ;=; M_s;\sqrt{\frac{\mu,\alpha}{2,\Delta P,C_s,t}}
Passo 4
Analisando a dependência em C_s
- A_sed ∝ (1 – C_i/C_s): quanto maior C_s, menor A_sed. Quando C_s→C_i, A_sed→0 (não faz sentido físico, mas indica que não preciso de área se o underflow já estiver na conc. do feed!).
- A_fil ∝ 1/√{C_s}: quanto maior a concentração do bolo, menor área de filtração (bolo “mais espesso” ocupa menos volume, reduzendo tempo de filtração).
Hipóteses e simplificações feitas:
• C_e≈0 no overflow.
• Velocidade de sedimentação constante (não há hindered settling).
• Bolo de filtração incompressível (α constante), resistência do meio R_m desprezada.
• Ciclo de filtração com tempo t fixo.
• C_e≈0 no overflow.
• Velocidade de sedimentação constante (não há hindered settling).
• Bolo de filtração incompressível (α constante), resistência do meio R_m desprezada.
• Ciclo de filtração com tempo t fixo.
Resposta
Área de sedimentação:
Área de filtração (prensa, bolo incompressível):
Em ambas dá pra ver claramente: A_{sed} e A_{fil} diminuem quando C_s aumenta.