Deduzir a expressão do calor específico do modelo de Einstein. Determine a expressão da temperatura de Einstein
e determine a expressão assintótica do calor específico em funcão da temperatura, quando (
).
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais hipóteses padrão do modelo de Einstein vou usar (essas hipóteses são parte do enunciado “modelo de Einstein” mesmo que não estejam escritas explicitamente):
- O objetivo:
- Deduzir a expressão do calor específico
(por átomos ou total) do sólido no modelo de Einstein, em função da temperatura . - Determinar a expressão da temperatura de Einstein
. - Determinar a expressão assintótica de
quando (ou seja, o comportamento para temperaturas muito menores que ).
- Deduzir a expressão do calor específico
- Hipóteses do modelo de Einstein que vamos usar:
- O sólido tem
átomos (número total de átomos). - Cada átomo oscila em três direções independentes, e cada direção é modelada por um oscilador harmônico quântico de mesma frequência angular
. - Os osciladores são independentes e idênticos (não há distribuição de frequências).
- O sólido tem
- Notas importantes:
- Irei obter a energia média usando a função partição do oscilador harmônico quântico e então diferenciar para obter
. - A constante de Boltzmann será denotada por
e a constante reduzida de Planck por .
- Irei obter a energia média usando a função partição do oscilador harmônico quântico e então diferenciar para obter
Passo 2
Conceito e fórmula fundamental: partição do oscilador harmônico quântico.
- Mini-aula: a função partição canônica de um sistema discreto é
, onde e são os níveis de energia. - Para o oscilador harmônico quântico (um grau de liberdade) os níveis de energia são
- A soma geométrica dá a partição de um oscilador:
Agora calculemos essa soma explicitamente.
Passo 3
Cálculo explícito de
.
- A soma é geométrica: fator comum
. Então
- A soma geométrica converge para
. Portanto
- Observação útil: às vezes escrevemos
multiplicando numerador e denominador adequadamente, mas a forma anterior é suficiente para o que precisamos.
Passo 4
Energia média de um oscilador e do sólido (energia interna
).
- Mini-aula: a energia média em canônico é
- Para um oscilador:
- Calcule
:
- Diferenciando:
Agora simplificamos essa expressão passo a passo.
Passo 5
Simplificação da energia média de um oscilador.
- A derivada é
- Usando a identidade
com , obtemos
- Energia total do sólido com
osciladores (3 por átomo):
- Observação física: o termo
é a energia de ponto zero; ele não depende de e, portanto, não contribui para o calor específico .
Passo 6
Definição da temperatura de Einstein
e reescrita em termos de variável adimensional.
- Definimos a temperatura de Einstein por
- Isso é apenas uma conveniência que converte o argumento exponencial em uma razão de temperaturas.
- Defina a variável adimensional
- Reescrevendo a energia interna sem o termo de ponto zero (já que não contribui a
):
Passo 7
Derivação do calor específico
.
- Vamos derivar
em função de usando . - Primeiro calcule
de . Usamos a regra da cadeia: -
. -
.
-
- Portanto
- Agora multiplica pelo fator
que acompanha essa função em :
- Substitua
e simplifique : -
.
-
- Assim obtemos a forma final compacta para
:
Passo 8
Expressão final do calor específico no modelo de Einstein.
- Com as simplificações do passo anterior:
- Reescrevendo explicitamente em termos de
e :
- Comentário físico rápido (útil para prova): no limite de altas temperaturas
(ou ) essa expressão dá a lei de Dulong–Petit . No entanto o enunciado pediu especificamente o limite , então vamos para ele.
Passo 9
Assíntota para
(ou seja
).
- Mini-aula sobre aproximações exponenciais: se
então e a primeira aproximação. - Substituindo nessa aproximação na expressão de
:
- Substituindo em
:
- Voltando a
:
- Observação: este é um decaimento exponencial muito rápido com
. Esse comportamento é característico do modelo de Einstein e está em contraste com o decaimento em potência que aparece no modelo de Debye para baixas temperaturas.