Deduzir a expressão do calor específico do modelo de Einstein. Determine a expressão da temperatura de Einstein T_{E} e determine a expressão assintótica do calor específico em funcão da temperatura, quando ( T \ll T_{E} ).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais hipóteses padrão do modelo de Einstein vou usar (essas hipóteses são parte do enunciado “modelo de Einstein” mesmo que não estejam escritas explicitamente):
  • O objetivo:
    • Deduzir a expressão do calor específico C_V (por átomos ou total) do sólido no modelo de Einstein, em função da temperatura T.
    • Determinar a expressão da temperatura de Einstein T_{E}.
    • Determinar a expressão assintótica de C_V quando T \ll T_{E} (ou seja, o comportamento para temperaturas muito menores que T_E).
  • Hipóteses do modelo de Einstein que vamos usar:
    • O sólido tem N átomos (número total de átomos).
    • Cada átomo oscila em três direções independentes, e cada direção é modelada por um oscilador harmônico quântico de mesma frequência angular \omega.
    • Os osciladores são independentes e idênticos (não há distribuição de frequências).
  • Notas importantes:
    • Irei obter a energia média usando a função partição do oscilador harmônico quântico e então diferenciar para obter C_V.
    • A constante de Boltzmann será denotada por k_B e a constante reduzida de Planck por \hbar.

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental: partição do oscilador harmônico quântico.
  • Mini-aula: a função partição canônica de um sistema discreto é \;Z=\sum_{s} e^{-\beta E_s}\;, onde \beta = 1/(k_B T) e E_s são os níveis de energia.
  • Para o oscilador harmônico quântico (um grau de liberdade) os níveis de energia são
E_n = \hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),\qquad n=0,1,2,\dots
  • A soma geométrica dá a partição de um oscilador:
Z_1 = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta \hbar\omega (n+\tfrac{1}{2})}
Agora calculemos essa soma explicitamente.

Passo 3

Cálculo explícito de Z_1.
  • A soma é geométrica: fator comum q=e^{-\beta\hbar\omega}. Então
Z_1 = e^{-\beta\hbar\omega/2}\sum_{n=0}^{\infty} (e^{-\beta\hbar\omega})^{n}
  • A soma geométrica converge para 1/(1-q). Portanto
Z_1 = \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}.
  • Observação útil: às vezes escrevemos Z_1 = 1/(2\operatorname{sinh}(\beta\hbar\omega/2)) multiplicando numerador e denominador adequadamente, mas a forma anterior é suficiente para o que precisamos.

Passo 4

Energia média de um oscilador e do sólido (energia interna U).
  • Mini-aula: a energia média em canônico é \; \langle E\rangle = -\partial \ln Z / \partial \beta\;.
  • Para um oscilador:
\langle E_1\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z_1.
  • Calcule \ln Z_1:
\ln Z_1 = -\frac{\beta\hbar\omega}{2} - \ln\!\big(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\big).
  • Diferenciando:
\langle E_1\rangle = -\left(-\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{-(-\hbar\omega)e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\right)
Agora simplificamos essa expressão passo a passo.

Passo 5

Simplificação da energia média de um oscilador.
  • A derivada é
\langle E_1\rangle = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega\, e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}.
  • Usando a identidade \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\dfrac{1}{e^{x}-1} com x=\beta\hbar\omega, obtemos
\langle E_1\rangle = \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}.
  • Energia total do sólido com 3N osciladores (3 por átomo):
U = 3N\,\langle E_1\rangle = 3N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}\right).
  • Observação física: o termo \hbar\omega/2 é a energia de ponto zero; ele não depende de T e, portanto, não contribui para o calor específico C_V.

Passo 6

Definição da temperatura de Einstein T_E e reescrita em termos de variável adimensional.
  • Definimos a temperatura de Einstein por
T_{E} \equiv \frac{\hbar\omega}{k_B}.
  • Isso é apenas uma conveniência que converte o argumento exponencial em uma razão de temperaturas.
  • Defina a variável adimensional
x \equiv \beta\hbar\omega = \frac{\hbar\omega}{k_B T} = \frac{T_E}{T}.
  • Reescrevendo a energia interna sem o termo de ponto zero (já que não contribui a C_V):
U(T) = 3N\,\frac{\hbar\omega}{e^{x}-1} = 3N k_B T_E\cdot\frac{1}{e^{x}-1}.

Passo 7

Derivação do calor específico C_V=\dfrac{dU}{dT}.
  • Vamos derivar U(T) em função de T usando x=T_E/T.
  • Primeiro calcule d/dT de 1/(e^{x}-1). Usamos a regra da cadeia:
    • dx/dT = -\dfrac{T_E}{T^2} = -\dfrac{x}{T}.
    • d/dx\big(\dfrac{1}{e^{x}-1}\big) = -\dfrac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}.
  • Portanto
\frac{d}{dT}\left(\frac{1}{e^{x}-1}\right) = -\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}\cdot\frac{x}{T}\cdot(-1) = \frac{x}{T}\cdot\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}.
  • Agora multiplica pelo fator 3N k_B T_E que acompanha essa função em U:
C_V = \frac{dU}{dT} = 3N k_B T_E \cdot \frac{x}{T}\cdot\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}.
  • Substitua x=T_E/T e simplifique T_E\cdot x / T:
    • T_E\cdot \dfrac{x}{T} = T_E\cdot \dfrac{T_E/T}{T} = \dfrac{T_E^2}{T^2} = x^2.
  • Assim obtemos a forma final compacta para C_V:

Passo 8

Expressão final do calor específico no modelo de Einstein.
  • Com as simplificações do passo anterior:
C_V = 3N k_B \; x^2 \; \frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2}, \qquad\text{com } x=\frac{T_E}{T}.
  • Reescrevendo explicitamente em termos de T e T_E:
C_V = 3N k_B \left(\frac{T_E}{T}\right)^{2}\frac{e^{T_E/T}}{\big(e^{T_E/T}-1\big)^{2}}.
  • Comentário físico rápido (útil para prova): no limite de altas temperaturas T\gg T_E (ou x\ll1) essa expressão dá a lei de Dulong–Petit C_V\to 3N k_B. No entanto o enunciado pediu especificamente o limite T\ll T_E, então vamos para ele.

Passo 9

Assíntota para T\ll T_E (ou seja x\gg1).
  • Mini-aula sobre aproximações exponenciais: se x\gg 1 então e^{x}\gg 1 e e^{x}-1 \approx e^{x} a primeira aproximação.
  • Substituindo nessa aproximação na expressão de C_V:
\frac{e^{x}}{(e^{x}-1)^2} \approx \frac{e^{x}}{(e^{x})^2} = e^{-x}.
  • Substituindo em C_V:
C_V \approx 3N k_B\; x^2 \; e^{-x}.
  • Voltando a T:
C_V \approx 3N k_B \left(\frac{T_E}{T}\right)^{2} e^{-T_E/T}, \qquad\text{quando } T\ll T_E.
  • Observação: este é um decaimento exponencial muito rápido com \exp(-T_E/T). Esse comportamento é característico do modelo de Einstein e está em contraste com o decaimento em potência que aparece no modelo de Debye para baixas temperaturas.

Resposta

C_V = 3N k_B \left(\frac{T_E}{T}\right)^{2}\frac{e^{T_E/T}}{\big(e^{T_E/T}-1\big)^{2}}
T_E = \frac{\hbar\omega}{k_B}
C_V \stackrel{T\ll T_E}{\approx} 3N k_B \left(\frac{T_E}{T}\right)^{2} e^{-T_E/T}

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