Deetermine o número de faces de um poliedro convexo que tem
faces de
lados,
faces de
lados e
faces de
lados.
Passo 1
O enunciado diz que um poliedro convexo tem
faces com
lados cada,
faces com
lados cada e
faces com
lados cada. A pergunta é: “qual é o número de faces do poliedro?” Listei as informações dadas:
- Existem
faces do tipo “polígono de lados”. - Existem
faces do tipo “polígono de lados”. - Existem
faces do tipo “polígono de lados”.
O que nos pedem é o número total de faces do poliedro.
Passo 2
Entendendo o que cada dado significa: quando dizemos "
faces de
lados" queremos dizer que há exatamente
polígonos, cada um com
arestas/perímetros; idem para as
faces de
lados e para as
faces de
lados. Cada uma dessas contagens
,
,
é já a contagem de faces — ou seja, cada unidade de
representa uma face.
Passo 3
Para obter o número total de faces
somamos todas as faces dos três tipos, porque as famílias de faces são disjuntas (cada face pertence exatamente a uma das três categorias informadas). Logo, por contagem direta,
Essa é a resposta imediata ao pedido “número de faces”.
Passo 4
(Dica para prova — argumento de consistência) Às vezes, o enunciado pede informações adicionais (arestas, vértices). É útil saber relacionamentos padrão: se quisermos o número de arestas
, lembramos que cada face com
lados contribui com
arestas, mas cada aresta pertence a duas faces, então
Aqui expliquei como contar arestas sem ambiguidade: somamos os lados de todas as faces e dividimos por
porque cada aresta é contada duas vezes na soma.
Passo 5
(Dica para prova — uso da fórmula de Euler) Para obter o número de vértices
de um poliedro convexo podemos usar a fórmula de Euler
Substituindo
e
acima, teríamos
caso você precise desse número na prova. Isso mostra coerência entre as quantidades.
Passo 6
Resumo didático e mental para a prova: quando te disserem “tem
faces de
lados,
faces de
lados,
faces de
lados”, a contagem de faces é simplesmente a soma das quantidades de faces fornecidas — não precisa de cálculo com
para isso. Os valores
entram quando você quer arestas ou vértices.