Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para a gente não se perder):
- O poliedro é convexo e suas faces são apenas triângulos, quadriláteros e pentágonos.
- O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades.
- O poliedro tem
vértices.
O que o enunciado pede:
- Calcular quantas faces há de cada tipo (triangulares, quadrangulares e pentagonais).
Passo 2
Vamos introduzir variáveis para organizar a conta:
-
= número de faces triangulares. -
= número de faces quadrangulares. -
= número de faces pentagonais.
A informação “o número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades” vira uma equação simples:
Passo 3
Precisamos de mais relações. Uma ferramenta essencial para poliedros convexos é a fórmula de Euler. Vou explicar ela com calma:
- Fórmula de Euler: para todo poliedro convexo vale
,
ondeé o número de vértices, o número de arestas e o número de faces.
Aqui(dado) e é a soma das faces de cada tipo:
Substituindo na fórmula de Euler temos:
Isolando
obtemos
(Expliquei: botei
, passei termos e achei
.)
Passo 4
Outra relação que usamos frequentemente é a relação entre o número de lados das faces e o número de arestas:
- Cada face com
lados contribui com “lados” ao total, e cada aresta é contada em exatamente duas faces (porque o poliedro é convexo e sem arestas livres). Portanto:
Aqui a esquerda soma todos os lados de todas as faces; a direita é duas vezes o número de arestas.
Passo 5
Agora substituímos
da relação obtida no Passo 3 nessa equação:
Faço a expansão do lado direito:
Agora passo termos semelhantes para um lado:
ou seja
Passo 6
Substituo agora
(Passo 2) na equação do Passo 5:
Agrupando termos em
e isolando
:
Dividindo por
:
Dessa equação linear obtemos
Passo 7
Como
são números inteiros não-negativos (contagem de faces), vamos verificar valores inteiros possíveis para
.
deve ser inteiro e
, logo:
- Se
então e . - Se
então e . - Se
então e .
Não há outras possibilidades porque para
teríamos
, impossível.
Passo 8
Precisamos decidir qual dessas soluções é a correta ao ler o enunciado. O enunciado afirma que o poliedro “possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais” — a leitura natural dessa frase indica que o poliedro apresenta esses tipos de faces (ou seja, existe pelo menos uma face de cada tipo). Isso elimina as soluções em que
ou
, porque essas dariam ausência de um tipo listado. Assim, a solução que mantém todos os tipos presentes é:
Passo 9
Vamos verificar rapidamente que essa solução satisfaz as relações principais (checagem final):
-
OK. -
. -
. - Conferindo a relação das arestas:
, e . Tudo consistente com Euler .
Resposta
Triangulares:
Quadrangulares:
Pentagonais:
Quadrangulares:
Pentagonais: