Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente para a gente não se perder):
  • O poliedro é convexo e suas faces são apenas triângulos, quadriláteros e pentágonos.
  • O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades.
  • O poliedro tem 7 vértices.
O que o enunciado pede:
  • Calcular quantas faces há de cada tipo (triangulares, quadrangulares e pentagonais).

Passo 2

Vamos introduzir variáveis para organizar a conta:
  • T = número de faces triangulares.
  • Q = número de faces quadrangulares.
  • P = número de faces pentagonais.
A informação “o número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em 2 unidades” vira uma equação simples:
T = P + 2.

Passo 3

Precisamos de mais relações. Uma ferramenta essencial para poliedros convexos é a fórmula de Euler. Vou explicar ela com calma:
  • Fórmula de Euler: para todo poliedro convexo vale \;V - E + F = 2\;,
    onde V é o número de vértices, E o número de arestas e F o número de faces.
    Aqui V=7 (dado) e F é a soma das faces de cada tipo:
F = T + Q + P.
Substituindo na fórmula de Euler temos:
7 - E + (T+Q+P) = 2.
Isolando E obtemos
E = T + Q + P + 5.
(Expliquei: botei 7 + (T+Q+P) - E = 2, passei termos e achei E = T+Q+P+5.)

Passo 4

Outra relação que usamos frequentemente é a relação entre o número de lados das faces e o número de arestas:
  • Cada face com n lados contribui com n “lados” ao total, e cada aresta é contada em exatamente duas faces (porque o poliedro é convexo e sem arestas livres). Portanto:
3T + 4Q + 5P = 2E.
Aqui a esquerda soma todos os lados de todas as faces; a direita é duas vezes o número de arestas.

Passo 5

Agora substituímos E da relação obtida no Passo 3 nessa equação:
3T + 4Q + 5P = 2\bigl(T + Q + P + 5\bigr).
Faço a expansão do lado direito:
3T + 4Q + 5P = 2T + 2Q + 2P + 10.
Agora passo termos semelhantes para um lado:
(3T-2T) + (4Q-2Q) + (5P-2P) = 10,
ou seja
T + 2Q + 3P = 10.

Passo 6

Substituo agora T = P + 2 (Passo 2) na equação do Passo 5:
(P+2) + 2Q + 3P = 10.
Agrupando termos em P e isolando Q:
4P + 2Q + 2 = 10
4P + 2Q = 8
Dividindo por 2:
2P + Q = 4.
Dessa equação linear obtemos
Q = 4 - 2P.

Passo 7

Como T,Q,P são números inteiros não-negativos (contagem de faces), vamos verificar valores inteiros possíveis para P. Q deve ser inteiro e Q\ge 0, logo:
  • Se P=0 então Q=4 e T=P+2=2.
  • Se P=1 então Q=2 e T=3.
  • Se P=2 então Q=0 e T=4.
Não há outras possibilidades porque para P\ge 3 teríamos Q=4-2P\le -2, impossível.

Passo 8

Precisamos decidir qual dessas soluções é a correta ao ler o enunciado. O enunciado afirma que o poliedro “possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais” — a leitura natural dessa frase indica que o poliedro apresenta esses tipos de faces (ou seja, existe pelo menos uma face de cada tipo). Isso elimina as soluções em que Q=0 ou P=0, porque essas dariam ausência de um tipo listado. Assim, a solução que mantém todos os tipos presentes é:
P=1,\quad Q=2,\quad T=3.

Passo 9

Vamos verificar rapidamente que essa solução satisfaz as relações principais (checagem final):
  • T = P+2 \Rightarrow 3 = 1 + 2 OK.
  • F = T+Q+P = 3+2+1 = 6.
  • E = T+Q+P+5 = 6 + 5 = 11.
  • Conferindo a relação das arestas: 3T+4Q+5P = 9 + 8 + 5 = 22, e 2E = 2\cdot 11 = 22. Tudo consistente com Euler V-E+F = 7 - 11 + 6 = 2.

Resposta

Triangulares: 3
Quadrangulares: 2
Pentagonais: 1

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