Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos da faces é 32 ângulos retos?

Passo 1

O enunciado pede: “Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?”\n
Informações dadas:
  • O poliedro é convexo.
  • O número de arestas é 15.
  • Todas as faces são quadriláteros ou pentágonos.
  • A soma de todos os ângulos das faces, contada em ângulos retos (um ângulo reto = 90^\circ), é 32 ângulos retos.

Passo 2

Vamos introduzir incógnitas simples para organizar:
  • Seja q o número de faces quadrangulares (quadriláteros).
  • Seja p o número de faces pentagonais.
    Também sabemos que o número de arestas é
E = 15.

Passo 3

Relação entre arestas e lados das faces (explicação didática):
  • Cada face quadrangular tem 4 arestas ao seu contorno; cada pentagonal tem 5.
  • Se somarmos o número de lados de todas as faces obtemos 4q + 5p.
  • Cada aresta do poliedro pertence a exatamente duas faces (poliedro convexo, faces se encontram por arestas), então essa soma conta cada aresta duas vezes. Assim
4q + 5p = 2E.
Substituindo E=15 obtemos a primeira equação:
4q + 5p = 30.

Passo 4

Relação dada pela soma dos ângulos das faces (explicação didática):
  • A soma dos ângulos internos de um k-gono é (k-2)\cdot 180^\circ. Isso vem do fato de que um k-gono pode ser decomposto em k-2 triângulos, e cada triângulo tem soma 180^\circ.
  • Em unidades de ângulo reto ( 90^\circ), (k-2)\cdot 180^\circ equivale a (k-2)\cdot 2 ângulos retos, ou seja 2k-4 ângulos retos.
  • Para um quadrilátero ( k=4) a soma é 2\cdot4-4=4 ângulos retos.
  • Para um pentágono ( k=5) a soma é 2\cdot5-4=6 ângulos retos.
    Portanto a soma total dos ângulos das faces, em ângulos retos, é
4q + 6p.
Pelo enunciado essa soma vale 32, então obtemos a segunda equação:
4q + 6p = 32.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} 4q + 5p = 30,\\[4pt] 4q + 6p = 32. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar q:
(4q+6p)-(4q+5p)=32-30 \implies p = 2.]

Passo 6

Com p=2 voltamos à primeira equação para achar q:
4q + 5\cdot 2 = 30 \implies 4q + 10 = 30 \implies 4q = 20 \implies q = 5.

Passo 7

Cheque rápido (para garantir coerência):
  • Soma de lados: 4q+5p = 4\cdot 5 + 5\cdot 2 = 20 + 10 = 30 = 2E (ok).
  • Soma de ângulos em ângulos retos: 4q+6p = 4\cdot 5 + 6\cdot 2 = 20 + 12 = 32 (ok).
  • Podemos também calcular o número de faces e vértices: F=q+p=5+2=7 e pela fórmula de Euler V-E+F=2 temos V = 2 - F + E = 2 - 7 + 15 = 10. Tudo consistente.

Resposta

Quadrangulares: 5
Pentagonais: 2

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