Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos da faces é 32 ângulos retos?
Passo 1
O enunciado pede: “Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O poliedro é convexo.
- O número de arestas é
. - Todas as faces são quadriláteros ou pentágonos.
- A soma de todos os ângulos das faces, contada em ângulos retos (um ângulo reto =
), é ângulos retos.
Passo 2
Vamos introduzir incógnitas simples para organizar:
- Seja
o número de faces quadrangulares (quadriláteros). - Seja
o número de faces pentagonais.
Também sabemos que o número de arestas é
Passo 3
Relação entre arestas e lados das faces (explicação didática):
- Cada face quadrangular tem
arestas ao seu contorno; cada pentagonal tem . - Se somarmos o número de lados de todas as faces obtemos
. - Cada aresta do poliedro pertence a exatamente duas faces (poliedro convexo, faces se encontram por arestas), então essa soma conta cada aresta duas vezes. Assim
Substituindo
obtemos a primeira equação:
Passo 4
Relação dada pela soma dos ângulos das faces (explicação didática):
- A soma dos ângulos internos de um
-gono é . Isso vem do fato de que um -gono pode ser decomposto em triângulos, e cada triângulo tem soma . - Em unidades de ângulo reto (
), equivale a ângulos retos, ou seja ângulos retos. - Para um quadrilátero (
) a soma é ângulos retos. - Para um pentágono (
) a soma é ângulos retos.
Portanto a soma total dos ângulos das faces, em ângulos retos, é
Pelo enunciado essa soma vale
, então obtemos a segunda equação:
Passo 5
Agora resolvemos o sistema de duas equações lineares:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar
:
Passo 6
Com
voltamos à primeira equação para achar
:
Passo 7
Cheque rápido (para garantir coerência):
- Soma de lados:
(ok). - Soma de ângulos em ângulos retos:
(ok). - Podemos também calcular o número de faces e vértices:
e pela fórmula de Euler temos . Tudo consistente.
Resposta
Quadrangulares:
Pentagonais:
Pentagonais: