Por um defeito de fabricação, as fendas 1,4,7, ldots(3 N+1) de uma rede com (3 N+1) fendas ficam tapadas. a) Calcule o fator de interferência para a intensidade dessa rede defeituosa. b) Mostre que, entre cada par de máximos principais da rede perfeita, aparecem dois novos máximos da rede defeituosa, igualmente espaçados e de intensidade quatro vezes menor que os máximos principais.

Passo 1

Vamos resumir: temos uma rede com (3N+1) fendas espaçadas de distância d, mas as fendas com índices 1,4,7,…,3N+1 estão tapadas, sobrando 2N fendas abertas agrupadas em blocos de duas a cada 3fendas. O conteúdo é difração por redes e vamos precisar somar amplitudes de fendas abertas usando parâmetros de fase para obter o fator de interferência.

Passo 2

Marcamos a diferença de fase entre fendas vizinhas como phi=kdsintheta. As fendas abertas são aquelas de índice n=3j+2 e n=3j+3, para j=0,1,dots,N-1. A amplitude total é soma dessas fendas:
A(theta)=A0sumj=0^N-1l(e^i(3j+2)phi+e^i(3j+3)phir)

Passo 3

Fatorizamos:
A(theta)=A0,e^i2phil(1+e^iphir)sumj=0^N-1e^i3jphi

Passo 4

Usando soma de progressão geométrica obtemos
sumj=0^N-1e^i3jphi = e^itfrac3(N-1)phi2sinl(tfrac3Nphi2r)sinl(tfrac3phi2r)

Passo 5

A intensidade é I=|A|^2. Como |1+e^iphi|=2|cos(tfracphi2)|, chegamos ao fator de interferência:
I(theta)=I0;4cos^2l(tfracphi2r),gl[sinl(tfrac3Nphi2r)sinl(tfrac3phi2r)gr]^2

Passo 6

Esse é o resultado do item (a).

Passo 7

Para (b), note que os máximos principais da rede perfeita ocorrem quando phi=2pi m. Entre dois deles ( phi=2pi m e 2pi(m+1)) as fendas abertas em blocos de 2 dão origem a dois sub-máximos onde o fator 4cos^2(tfracphi2) atinge seu valor máximo local.
Esses picos novos ficam em
phi=2pi m+tfrac2pi3, phi=2pi m+tfrac4pi3

Passo 8

Eles estão igualmente espaçados dentro do intervalo e, avaliando o fator angular,
4cos^2l(tfrac12cdottfrac2pi3r)=4cos^2l(tfracpi3r)=4l(tfrac12r)^2=1
Enquanto no máximo principal 4cos^2(0)=4. Logo, a intensidade dos novos máximos é 4 vezes menor do que a do máximo principal.

Resposta

a) O fator de interferência da rede defeituosa é
I(theta)=I0;4cos^2l(tfracphi2r),gl[sinl(tfrac3Nphi2r)sinl(tfrac3phi2r)gr]^2,
onde phi=kdsintheta.
b) Entre cada par de máximos principais ( phi=2pi m e 2pi(m+1)), surgem dois máximos em
phi=2pi m+tfrac2pi3, phi=2pi m+tfrac4pi3,
igualmente espaçados e cujas intensidades são quatro vezes menores que a do máximo principal.

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