Considere duas ondas eletromagnéticas esféricas cujas componentes elétricas são dadas por:
E(r, t)=E0r e^i(k r pm omega t)
em que c=omega / k. Em ambos casos, mostre que E é solução da equação de onda eletromagnética em coordenadas esféricas e encontre o campo magnético associado a cada uma delas.
Dica: A divergência e o operador laplaciano em coordenadas esféricas são dados por:
nabla cdot A(r, theta, phi) & =1r^2 partial(r^2 Ar)partial r+1r sin theta partialpartial theta(Atheta sin theta)+1r sin theta partial Aphipartial phi nabla^2 psi(r, theta, phi) & =1r^2 partialpartial r(r^2 partial psipartial r)+1r^2 sin theta partialpartial theta(sin theta partial psipartial theta)+1r^2 sin ^2 theta partial^2 psipartial phi^2
respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções vec E(vec r,t)=dfracvec E0re^i(krpmomega t) satisfazem a equação de onda vetorial em coordenadas esféricas e, em seguida, achar o campo magnético vec B correspondente a cada sinal “+” e “–”. Vamos usar a forma livre de cargas e correntes, em que nablacdotvec E=0 e
nabla^2vec E=1c^2partial^2vec Epartial t^2
com c=omega/k.

Passo 2

Para não complicar, assumimos que vec E0 é um vetor constante perpendicular à direção radial hat r. Primeiro calculamos a divergência em coordenadas esféricas:
nablacdotvec E=1r^2partialpartial rl(r^2 Err)+dots
Mas, como Er=0 ( vec E só tem componentes transversais) e as partes em theta,phi são constantes multiplicadas por um escalar que depende só de r,t, segue que
nablacdotvec E=0
satisfeita.

Passo 3

Para checar a equação de onda, basta mostrar que o escalar
psi(r,t)=1re^i(krpmomega t)
resolve
$$
\nabla2\psi=\frac{1}{c2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}.
nabla^2psi=1c^2partial^2psipartial t^2 éá
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r}\Bigr)=\bigl(!-k^2\bigr)\psi,
1r^2partialpartial rl(r^2partialpsipartial rr)=l(!-k^2r)psi,
\frac{\partial^2\psi}{\partial t2}=(-\omega2)\psi.
partial^2psipartial t^2=(-omega^2)psi í
\nabla2\psi=-k2\psi=\frac{-\omega2}{c2}\psi=\frac{1}{c2}\frac{\partial2\psi}{\partial t^2}.
$$
Logo omega^2/c^2=k^2 satisfaz a equação vetorial.

Passo 4

Para achar vec B usamos a lei de Faraday sem cargas:
nablatimesvec E=-partialvec Bpartial t
Em regime harmônico sabemos que esta equação em fator de fase leva a
nablatimesvec E=+iomega,vec B,&se Epropto e^-iomega t, -iomega,vec B,&se Epropto e^+iomega t
Escrevendo vec E=vec E0psi e usando
nablapsi=hat rdpsidr=hat rl(ik-tfrac1rr)psi,
temos
nablatimesvec E=(ik-tfrac1r)psi,hat rtimesvec E0
Assim
vec B= 1iomega(ik-tfrac1r),psi,hat rtimesvec E0,& Epropto e^-iomega t,[6pt] -1iomega(ik-tfrac1r),psi,hat rtimesvec E0,& Epropto e^+iomega t

Passo 5

Arrumando com k/omega=1/c e reescrevendo em termos de vec E=vec E0psi, obtemos para cada caso:

Passo 6

Resposta

Para a onda saída (sinal “–” em e^i(kr-omega t)):
vec B(vec r,t)=l(1c-1i,omega,rr)vec E0r,e^i(kr-omega t);hat rtimes vec e0 =1cl(1-1ikrr),hat rtimesvec E(vec r,t)
Para a onda entrada (sinal “+” em e^i(kr+omega t)):
vec B(vec r,t)=-l(1c+1i,omega,rr)vec E0r,e^i(kr+omega t);hat rtimes vec e0 =-1cl(1+1ikrr),hat rtimesvec E(vec r,t)

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