Uma empresa de logística monitora o custo de transporte C (em reais) de uma carga em função do peso p (em kg) e da distância percorrida d (em km). O custo é dado pela função C(p, d)=0,05 \cdot p \cdot d+15.
A tabela abaixo apresenta alguns valores de distância e peso para uma rota específica:
Peso (p) \backslash Distância (d) 100 km 200 km 300 km
10 kg C(10,100) C(10,200) C(10,300)
50 kg C(50,100) C(50,200) C(50,300)
100 kg C(100,100) C(100,200) C(100,300)
a) Complete a tabela calculando os custos correspondentes.
b) Determine o domínio da função C considerando que peso e distância não podem ser negativos.
c) Se a distância for fixada em 200 km , a função resultante depende apenas de qual variável? Descreva o comportamento dessa função (linear, quadrática, etc).

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números da tabela do enunciado).
  • A função de custo é C(p,d)=0,05\cdot p\cdot d+15, onde p é o peso (kg) e d é a distância (km).
  • A tabela tem os pares (p,d) a calcular: p\in\{10,50,100\} e d\in\{100,200,300\}.
  • O enunciado pergunta:
    (a) completar a tabela calculando cada C(p,d);
    (b) determinar o domínio de C considerando que peso e distância não podem ser negativos;
    (c) se d for fixado em 200 km, de qual variável a função resultante depende, e qual o comportamento (linear, quadrática, etc).

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (coisa de prova): para cada entrada substituímos os valores de p e d na fórmula e calculamos. A operação é multiplicação seguida de soma: primeiro calcular p\cdot d, depois multiplicar por 0,05 (que é o mesmo que dividir por 20), e por fim somar 15.
Dica prática sem calculadora: 0,05\cdot p\cdot d = \dfrac{p\cdot d}{20}. Isso facilita porque dividir por 20 é dividir por 10 e depois por 2.

Passo 3

Calcular a linha p=10.
  • Para d=100: primeiro p\cdot d = 10\cdot100 = 1000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{1000}{20} = 50.
    Somando 15: C(10,100)=50+15=65 (reais).
  • Para d=200: p\cdot d = 10\cdot200 = 2000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{2000}{20} = 100.
    Somando 15: C(10,200)=100+15=115 (reais).
  • Para d=300: p\cdot d = 10\cdot300 = 3000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{3000}{20} = 150.
    Somando 15: C(10,300)=150+15=165 (reais).

Passo 4

Calcular a linha p=50.
  • Para d=100: p\cdot d = 50\cdot100 = 5000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{5000}{20} = 250.
    Somando 15: C(50,100)=250+15=265 (reais).
  • Para d=200: p\cdot d = 50\cdot200 = 10000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{10000}{20} = 500.
    Somando 15: C(50,200)=500+15=515 (reais).
  • Para d=300: p\cdot d = 50\cdot300 = 15000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{15000}{20} = 750.
    Somando 15: C(50,300)=750+15=765 (reais).

Passo 5

Calcular a linha p=100.
  • Para d=100: p\cdot d = 100\cdot100 = 10000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{10000}{20} = 500.
    Somando 15: C(100,100)=500+15=515 (reais).
  • Para d=200: p\cdot d = 100\cdot200 = 20000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{20000}{20} = 1000.
    Somando 15: C(100,200)=1000+15=1015 (reais).
  • Para d=300: p\cdot d = 100\cdot300 = 30000.
    0,05\cdot p\cdot d = \frac{30000}{20} = 1500.
    Somando 15: C(100,300)=1500+15=1515 (reais).

Passo 6

Agora apresento a tabela completa (os valores foram calculados nos passos anteriores):
  • Linha p=10: C(10,100)=65, C(10,200)=115, C(10,300)=165.
  • Linha p=50: C(50,100)=265, C(50,200)=515, C(50,300)=765.
  • Linha p=100: C(100,100)=515, C(100,200)=1015, C(100,300)=1515.
Observação rápida: deu coincidência C(50,200)=515 e C(100,100)=515 porque 0,05\cdot50\cdot200 = 0,05\cdot100\cdot100.

Passo 7

Determinar o domínio (explicação didática): o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares (p,d) para os quais a fórmula faz sentido e respeita as restrições do problema. Aqui não há divisão por zero nem raiz de número negativo, só multiplicação e soma; a única restrição do enunciado é que peso e distância não podem ser negativos. Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares com p\ge 0 e d\ge 0.
Escrito em notação matemática:
\text{Dom}\text{(C)} = \{(p,d)\in\mathbb{R}^2 \mid p\ge 0,\\ d\ge 0\} = [0,\infty)\times[0,\infty).

Passo 8

Parte (c): fixando d=200.
  • Substituindo na fórmula:
    C(p,200)=0,05\cdot p\cdot 200 + 15.
    Como 0,05\cdot 200 = 10, obtemos
    C(p,200)=10p+15.
  • Interpretação (didática): com d fixo a função resultante depende apenas do peso p. A expressão C(p,200)=10p+15 é uma função linear em p: é da forma a p + b com a=10 (coeficiente angular, inclinação) e b=15 (intercepto). Isso significa que cada aumento de 1 kg no peso aumenta o custo em 10 reais; para p=0 o custo mínimo é 15 reais (taxa fixa).
  • Exemplos rápidos para intuição: C(0,200)=15, C(1,200)=25, C(10,200)=115 (confere com a tabela).

Passo 9

Resumo de técnica para a prova (ânimo): sempre que tiver C(p,d)=k\cdot p\cdot d + c e um dos argumentos fixo, substitua e simplifique multiplicando primeiro e reduzindo constantes; 0,05 é fácil de pensar como 1/20. Você tá indo bem — substituir e simplificar é o caminho mais rápido em prova!

Resposta

(a) C(10,100)=65\\ \text{R\$},\\ C(10,200)=115\\ \text{R\$},\\ C(10,300)=165\\ \text{R\$};\\ C(50,100)=265\\ \text{R\$},\\ C(50,200)=515\\ \text{R\$},\\ C(50,300)=765\\ \text{R\$};\\ C(100,100)=515\\ \text{R\$},\\ C(100,200)=1015\\ \text{R\$},\\ C(100,300)=1515\\ \text{R\$}
(b) \text{Dom}\text{(C)}=\{(p,d)\in\mathbb{R}^2\mid p\ge0,\\ d\ge0\}=[0,\infty)\times[0,\infty)
(c) Depende apenas de p. É linear: C(p,200)=10p+15 (cada 1 kg aumenta o custo em R$ 10; custo mínimo 15 R$ em p=0).

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