Defiņ
^3 a Transformada de Fourier de uma função f(x) por
Ff(x)=f(omega)=1raiz2 pi integral-infty^+infty f(x) e^-j w x d x
Obter a Transformada de Fourier das funções abaixo. Faça os gráficos de f e f.
L-|x|, & se |x|= L, com L>0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função triangular
f(x)=L-|x| para |x| e zero fora, usando
hat f(omega)=1raiz2piintegral-infty^+inftyf(x)e^-jomega xdx. O conteúdo envolve propriedades de funções pares e integração por partes para chegar a uma forma que pode ser escrita em termos de sin^2 ou de sinc.

Passo 2

Como f(x) é par, a parte imaginária da transformada some e podemos escrever
hat f(omega)=2raiz2piintegral0^L(L-x)cos(omega x),dx
O gráfico de f(x) é uma rampa decrescente de altura L em x=0 até zero em x=pm L. O gráfico de hat f(omega) será uma forma de sinc^2 simétrica em omega=0.

Passo 3

Para calcular I=integral0^L(L-x)cos(omega x)dx fazemos integração por partes: definindo u=L-x, dv=cos(omega x)dx, obtemos
I=1-cos(omega L)omega^2
Logo
hat f(omega)=2raiz2pi1-cos(omega L)omega^2

Passo 4

Usando a identidade 1-cos a=2sin^2(a/2) obtemos duas formas equivalentes:
hat f(omega)=4raiz2pisin^2l(tfracomega L2r)omega^2 =L^2raiz2pisinc^2!l(tfracomega L2r)
Esse é o espectro em frequência, com pico em omega=0 de valor L^2/raiz2pi.

Resposta

$$\hat f(\omega)=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin^2\bigl(\tfrac{\omega L}{2}\bigr)}{\omega^2}
=\frac{L2}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{sinc}2!\Bigl(\tfrac{\omega L}{2}\Bigr).$$

Exercícios relacionados