Defiņ
a Transformada de Fourier de uma função
por
Obter a Transformada de Fourier das funções abaixo. Faça os gráficos de
e
.
com
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função triangular
para
e zero fora, usando
. O conteúdo envolve propriedades de funções pares e integração por partes para chegar a uma forma que pode ser escrita em termos de
ou de sinc.
Passo 2
Como
é par, a parte imaginária da transformada some e podemos escrever
O gráfico de
Passo 3
Para calcular
fazemos integração por partes: definindo
,
, obtemos
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Passo 4
Usando a identidade
obtemos duas formas equivalentes:
Esse é o espectro em frequência, com pico em
de valor
.
Resposta
$$\hat f(\omega)=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin^2\bigl(\tfrac{\omega L}{2}\bigr)}{\omega^2}
=\frac{L2}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{sinc}2!\Bigl(\tfrac{\omega L}{2}\Bigr).$$