Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções y=f(x) dadas abaixo
x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3=1

Passo 1

O enunciado dá uma equação implícita de terceiro grau
x^3-3 x^2y+3 x y^2-y^3=1
queremos encontrar y'=tfracdydx usando diferenciação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. Para o termo x^3 vem 3x^2. Para -3x^2y aplicamos produto:
ddx(-3x^2y)=-3l(2x,y + x^2y'r)=-6xy -3x^2y'
Para 3xy^2:
ddx(3x y^2)=3l(y^2+2x y y'r)=3y^2+6x y y'
Para -y^3 usamos regra da cadeia:
ddx(-y^3)=-3y^2y'
O lado direito 1 0.

Passo 3

Somando tudo e igualando a zero:
3x^2 -6xy -3x^2y' +3y^2 +6xy y' -3y^2y'=0
Agora agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm:
(-3x^2+6xy-3y^2)y' + (3x^2-6xy+3y^2)=0

Passo 4

Note que tanto -3x^2+6xy-3y^2) quanto (3x^2-6xy+3y^2) são iguais a -3(x-y)^2 e 3(x-y)^2, respectivamente. Logo:
-3(x-y)^2y' +3(x-y)^2=0
Dividindo por 3(x-y)^2 (que é não nulo pois a equação original vale 1), obtemos
-y' +1=0
e assim

Passo 5

Segue que
y'=1

Resposta

1

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