Verifique a validade dos seguintes argumentos, utilizando o tableaux.
((a \vee \neg b) \rightarrow c),(b \rightarrow \neg d), d \vdash c

Passo 1

Resumindo, queremos verificar se o argumento
((a\vee\neg b)\to c),\;(b\to\neg d),\;d\;\vdash\;c
é válido. Pelo método do tableaux semântico, assumimos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa e mostramos que isso leva a contradições em todas as ramificações.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas assinadas:
T \bigl((a\vee\neg b)\to c\bigr),
T (b\to\neg d),
T (d),
F \text{(c)}.

Passo 3

Expandimos T \bigl((a\vee\neg b)\to c\bigr) (regra β: T(\alpha\to\beta) gera duas ramificações):
  • Ramificação 1: F (a\vee\neg b)
  • Ramificação 2: T \text{(c)} Em cada uma mantemos também T (b\to\neg d), T (d) e F \text{(c)}.

Passo 4

Na Ramificação 1 aplicamos F (a\vee\neg b) (regra α: F(\alpha\vee\beta) gera F \alpha e F \beta):
  • Obtemos F (a) e F (\neg b).
  • Mas F (\neg b) é α de negação, dá T (b).
    Logo nesta ramificação temos as assinaturas:
    T (b\to\neg d), T (d), F \text{(c)}, F (a), T (b).

Passo 5

Ainda na Ramificação 1, expandimos T (b\to\neg d) (regra β):
  • Subramo 1.1: F (b)
    Aqui F (b) e T (b) se chocam → fechamento.
  • Subramo 1.2: T (\neg d)
    Aqui T (\neg d) e T (d) se chocam → fechamento.
Portanto toda a Ramificação 1 fecha.

Passo 6

Na Ramificação 2 tínhamos já T \text{(c)} e F \text{(c)}, o que é um choque imediato → fechamento.
Como todas as ramificações fecharam, o conjunto é insatisfatível e o argumento é válido.

Resposta

O argumento é válido.

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