- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 0 ) e
(autovalor 3). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Vou listar claramente o que pede e os dados fornecidos:
- (a) Pede definição de auto-espaço associado a um autovalor e definição de multiplicidade geométrica de um autovalor.
- (b) Dá dois auto-espaços em
: (autovalor ) e (autovalor ). Pede uma transformação linear que tenha exatamente esses auto-espaços, e que eu apresente a matriz que representa na base canônica de . - (c) Pergunta se existe base de autovetores para
. Se existir, pedir para obter a matriz cuja coluna são os autovetores (matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica). - (d) Calcular
e mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Os dados úteis que já tenho: os dois auto-espaços (logo sei vetores geradores de cada um) e os autovalores correspondentes
e
.
Passo 2
(a) Definições — explicação didática e passo a passo.
-
Auto-espaço associado a um autovalor
: dado uma transformação linear e um escalar , o auto-espaço é o conjunto de vetores que são “esticados” por por . Em fórmula: Isso significa que cada vetoré um autovetor (ou o vetor zero) correspondente ao autovalor . Importante: é um subespaço de (fechado por soma e multiplicação por escalar). Para encontrar na prática, resolve-se — ou, em termos de matriz que representa , resolve-se . -
Multiplicidade geométrica de um autovalor
: é a dimensão do auto-espaço , isto é, Intuitivamente, diz quantas direções linearmente independentes de autovetores existem para esse autovalor. Ex.: seentão há apenas uma direção de autovetores; se (no caso de ) então todos os vetores são múltiplos de autovetores dessa direção.
Exemplo curto e concreto: se em
um autovalor tem auto-espaço gerado por
, então
e a multiplicidade geométrica é
.
Passo 3
(b) Construção da transformação
e decisão dos autovetores.
-
Cada auto-espaço dado é unidimensional (é uma reta), então posso escolher um vetor não-nulo gerador de cada um. TomemosPela definição de auto-espaço, quero
e . -
Para determinar a matriz
de na base canônica (onde , ), preciso conhecer as imagens e . Vou escrever e como combinações lineares de e , porque sei como age em .]
Passo 4
Expressar
na base
e calcular
.
-
Procuro
tais que Em coordenadas:Igualando componentes obtemos o sistemaSome as duas equações:, então E. -
Agora aplico
: Substituindoe , Essa será a primeira coluna da matriz(imagem de ).]
Passo 5
Expressar
na base
e calcular
.
-
Procuro
tais que Em coordenadas:AssimDa primeira. Substituindo na segunda: . Então . -
Aplico
: Com, Essa é a segunda coluna da matriz.]
Passo 6
Montagem da matriz
.
- As colunas de
são e . Logo Podemos também escrever .]
Passo 7
(c) Existência de base de autovetores e construção da matriz
.
-
Para existir uma base de autovetores em
precisamos de dois autovetores linearmente independentes. Aqui escolhemos e . Esses dois vetores não são múltiplos um do outro (pois não é para nenhum ), logo são linearmente independentes e formam uma base de formada por autovetores. Portanto, sim: existe base de autovetores. -
A matriz
que tem essas colunas (colunas = autovetores, na ordem ) é ]
Passo 8
(d) Cálculo de
.
- Determinante de
: - Inversa de uma
é, pela fórmula, ]
Passo 9
Mostrar que
é diagonal com os autovalores.
-
Defina a matriz diagonal dos autovalores (na mesma ordem das colunas de
, que foi com autovalor e com autovalor ): -
Raciocínio teórico curto: por construção
e . Em notação matricial isto é . Multiplicando à esquerda por obtemos que é diagonal com os autovalorese na diagonal principal. -
Verificação numérica rápida (opcional, confirma os cálculos):
- Calculei antes
, e acima. - Podemos ver que
tem colunas e , isto é - Assim
. Ambas as verificações conferem.]
- Calculei antes
Resposta
(a) Auto-espaço associado a
:
Multiplicidade geométrica de
:
.
(b)
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma escolha é
,
, portanto
(d)
]