1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{3}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado tem quatro itens. Vou listar claramente o que pede e os dados fornecidos:
  • (a) Pede definição de auto-espaço associado a um autovalor e definição de multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • (b) Dá dois auto-espaços em \mathbb{R}^2: E_{0}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\}(autovalor 0) e E_{3}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}(autovalor 3). Pede uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} que tenha exatamente esses auto-espaços, e que eu apresente a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • (c) Pergunta se existe base de autovetores para \mathbb{R}^{2}. Se existir, pedir para obter a matriz P cuja coluna são os autovetores (matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
  • (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Os dados úteis que já tenho: os dois auto-espaços (logo sei vetores geradores de cada um) e os autovalores correspondentes 0 e 3.

Passo 2

(a) Definições — explicação didática e passo a passo.
  • Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: dado uma transformação linear \mathrm{T}:V\to V e um escalar \lambda, o auto-espaço é o conjunto de vetores que são “esticados” por \lambda por \mathrm{T}. Em fórmula:
    E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
    Isso significa que cada vetor v\in E_{\lambda} é um autovetor (ou o vetor zero) correspondente ao autovalor \lambda. Importante: E_{\lambda} é um subespaço de V (fechado por soma e multiplicação por escalar). Para encontrar E_{\lambda} na prática, resolve-se (\mathrm{T}-\lambda I)v=0 — ou, em termos de matriz A que representa \mathrm{T}, resolve-se (A-\lambda I)x=0.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é,
    \text{mult geom}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}).
    Intuitivamente, diz quantas direções linearmente independentes de autovetores existem para esse autovalor. Ex.: se \dim(E_{\lambda})=1 então há apenas uma direção de autovetores; se \dim(E_{\lambda})=2 (no caso de \mathbb{R}^2) então todos os vetores são múltiplos de autovetores dessa direção.
Exemplo curto e concreto: se em \mathbb{R}^2 um autovalor tem auto-espaço gerado por (1,4), então \dim(E)=1 e a multiplicidade geométrica é 1.

Passo 3

(b) Construção da transformação \mathrm{T} e decisão dos autovetores.
  • Cada auto-espaço dado é unidimensional (é uma reta), então posso escolher um vetor não-nulo gerador de cada um. Tomemos
    v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}\in E_{0}, \qquad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\in E_{3}.
    Pela definição de auto-espaço, quero \mathrm{T}(v_{1})=0\cdot v_{1}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} e \mathrm{T}(v_{2})=3\cdot v_{2}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
  • Para determinar a matriz A de \mathrm{T} na base canônica \{e_{1},e_{2}\} (onde e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)), preciso conhecer as imagens \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}). Vou escrever e_{1} e e_{2} como combinações lineares de v_{1} e v_{2}, porque sei como \mathrm{T} age em v_{1},v_{2}.]

Passo 4

Expressar e_{1} na base \{v_{1},v_{2}\} e calcular \mathrm{T}(e_{1}).
  • Procuro a,b tais que
    e_{1} = a v_{1} + b v_{2}.
    Em coordenadas:
    \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[4pt]4a-b\end{pmatrix}.
    Igualando componentes obtemos o sistema
    a+b=1,\qquad 4a-b=0.
    Some as duas equações: (a+b)+(4a-b)=1+0 \Rightarrow 5a=1, então
    a=\tfrac{1}{5}.
    E b=1-a=\tfrac{4}{5}.
  • Agora aplico \mathrm{T}:
    \mathrm{T}(e_{1})=\mathrm{T}(a v_{1}+b v_{2})=a\,\mathrm{T}(v_{1})+b\,\mathrm{T}(v_{2}) =a\cdot 0 + b\cdot 3 v_{2} = 3b\,v_{2}.
    Substituindo b=\tfrac{4}{5} e v_{2}=(1,-1),
    \mathrm{T}(e_{1})=3\cdot \tfrac{4}{5}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12/5\\[4pt]-12/5\end{pmatrix}.
    Essa será a primeira coluna da matriz A (imagem de e_{1}).]

Passo 5

Expressar e_{2} na base \{v_{1},v_{2}\} e calcular \mathrm{T}(e_{2}).
  • Procuro a,b tais que
    e_{2} = a v_{1} + b v_{2}.
    Em coordenadas:
    \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\[4pt]4a-b\end{pmatrix}.
    Assim
    a+b=0,\qquad 4a-b=1.
    Da primeira b=-a. Substituindo na segunda: 4a-(-a)=1 \Rightarrow 5a=1 \Rightarrow a=\tfrac{1}{5}. Então b=-\tfrac{1}{5}.
  • Aplico \mathrm{T}:
    \mathrm{T}(e_{2})=a\,\mathrm{T}(v_{1})+b\,\mathrm{T}(v_{2})=0 + b\cdot 3 v_{2}=3b\,v_{2}.
    Com b=-\tfrac{1}{5},
    \mathrm{T}(e_{2})=3\cdot\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr)\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3/5\\[4pt]3/5\end{pmatrix}.
    Essa é a segunda coluna da matriz A.]

Passo 6

Montagem da matriz A.
  • As colunas de A são \mathrm{T}(e_{1}) e \mathrm{T}(e_{2}). Logo A=\begin{pmatrix}12/5 & -3/5\\[6pt]-12/5 & 3/5\end{pmatrix}.Podemos também escrever A=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}12 & -3\\[6pt]-12 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 7

(c) Existência de base de autovetores e construção da matriz P.
  • Para existir uma base de autovetores em \mathbb{R}^2 precisamos de dois autovetores linearmente independentes. Aqui escolhemos v_{1}=(1,4) e v_{2}=(1,-1). Esses dois vetores não são múltiplos um do outro (pois (1,4) não é \lambda(1,-1) para nenhum \lambda), logo são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Portanto, sim: existe base de autovetores.
  • A matriz P que tem essas colunas (colunas = autovetores, na ordem v_{1},v_{2}) é
    P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 8

(d) Cálculo de P^{-1}.
  • Determinante de P: \det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 4 = -1-4 = -5.
  • Inversa de uma 2\times2 é, pela fórmula, P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d & -b\\[6pt]-c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[6pt]-4 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[6pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix}.]

Passo 9

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores.
  • Defina a matriz diagonal dos autovalores (na mesma ordem das colunas de P, que foi v_{1} com autovalor 0 e v_{2} com autovalor 3):
    D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 3\end{pmatrix}.
  • Raciocínio teórico curto: por construção A v_{1}=0\cdot v_{1} e A v_{2}=3\cdot v_{2}. Em notação matricial isto é A P = P D. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
    P^{-1} A P = D,
    que é diagonal com os autovalores 0 e 3 na diagonal principal.
  • Verificação numérica rápida (opcional, confirma os cálculos):
    • Calculei antes A=\begin{pmatrix}12/5 & -3/5\\[4pt]-12/5 & 3/5\end{pmatrix}, P e P^{-1} acima.
    • Podemos ver que A P = P D tem colunas A v_{1} = 0 e A v_{2}=3v_{2}, isto é A P = \begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix} = P D.
    • Assim P^{-1} A P = P^{-1}(P D)=D. Ambas as verificações conferem.]

Resposta

(a) Auto-espaço associado a \lambda: \;E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. \; Multiplicidade geométrica de \lambda: \;\dim(E_{\lambda}).
(b) \;A=\begin{pmatrix}12/5 & -3/5\\[6pt]-12/5 & 3/5\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma escolha é v_{1}=(1,4), v_{2}=(1,-1), portanto
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & -1\end{pmatrix}.
(d) \;P^{-1}=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5\\[6pt]4/5 & -1/5\end{pmatrix}. \;P^{-1} A P = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

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