1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}= \{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{5}=\{(t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a–d). Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos:
  • (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  • (b) Encontrar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços sejam
E_{2}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor 2) e
E_{5}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor 5), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^2.
  • (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2. Caso exista, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base da base de autovetores para a base canônica).
  • (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Dados explícitos do enunciado:
  • Os auto-espaços são os conjuntos acima; note que vetores geradores típicos são v_1=(1,-1)\in E_2 e v_2=(1,1)\in E_5.
  • Os autovalores correspondentes são 2 para E_2 e 5 para E_5.

Passo 2

(a) Definições e explicação didática passo a passo.
Definição 1 — auto-espaço (espaço próprio): dado um operador linear \mathrm{T}:V\to V e um autovalor \lambda\in\mathbb{R}, o auto-espaço associado a \lambda é o conjunto de todos os vetores não-nulos v\in V que satisfazem \mathrm{T}(v)=\lambda v, junto com o vetor nulo. Formalmente:
\text{o auto-espaço }E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.ç
Observações didáticas:
  • E_{\lambda} é um subespaço vetorial (contém 0, fechado em soma e multiplicação por escalares).
  • Os vetores em E_{\lambda} são chamados de autovetores associados a \lambda (exceto o vetor nulo, que é incluído para fechar o subespaço).
Definição 2 — multiplicidade geométrica: a multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda=\dim(E_{\lambda}).é
Explicando: se \dim(E_{\lambda})=k, então existem k vetores linearmente independentes que são autovetores associados a \lambda. Na prática, a multiplicidade geométrica indica quantas direções independentes (autovetores) temos para aquele autovalor.
Exemplo simples (para fixar a ideia): se E_{\lambda}=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\} então \dim(E_{\lambda})=1 e um gerador é (1,1).

Passo 3

(b) Escolha de autovetores e justificativa de base: vou construir \mathrm{T} de forma natural usando vetores geradores dos auto-espaços dados.
  • Escolho v_1=(1,-1)\in E_2 (qualquer vetor não-nulo da forma (t,-t) funciona; peguei t=1).
  • Escolho v_2=(1,1)\in E_5 (peguei t=1).
Primeira verificação didática: v_1 e v_2 são linearmente independentes?
  • Formo a matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
  • O determinante é
\det(P)=1\cdot 1 - 1\cdot(-1)=1+1=2\neq 0,
logo v_1 e v_2 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^2. Isso é importante: se os autovetores de autovalores distintos forem linearmente independentes, podemos diagonalizar.
Construção de \mathrm{T}: queremos que \mathrm{T}(v_1)=2v_1 e \mathrm{T}(v_2)=5v_2. Uma maneira sistemática de obter a matriz A na base canônica é usar a fórmula
A = P D P^{-1},
onde P=[v_1\\ v_2] (colunas) e D=\operatorname{diag}(2,5) é a diagonal dos autovalores. A intuição: P mapeia coordenadas na base de autovetores para coordenadas canônicas; D aplica os fatores escalares 2 e 5 nas coordenadas na base de autovetores; P^{-1} volta para a base canônica.]

Passo 4

(b) Cálculo explícito de A. Já temos
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Calculo de P^{-1} (fórmula para inversa 2\times2): para P=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix},
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1,b=1,c=-1,d=1, então ad-bc=1\cdot1-1\cdot(-1)=2. Logo
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo A=P D P^{-1}. Primeiro P D:
P D=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}.
Multiplico por P^{-1}:
A=(P D)P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix} \cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação interna primeiro:
\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot1+5\cdot1 & 2\cdot(-1)+5\cdot1\\[4pt]-2\cdot1+5\cdot1 & -2\cdot(-1)+5\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]3 & 7\end{pmatrix}.
Agora multiplico por \tfrac{1}{2}:
A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}7 & 3\\[4pt]3 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.
Checagem rápida (didática): verificar que A v_1 =2 v_1 e A v_2 =5 v_2.
  • A(1,-1)^\top =\bigl(\tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{2}\bigr)^\top=(2,-2)^\top=2(1,-1)^\top.
  • A(1,1)^\top =\bigl(\tfrac{7}{2}+\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2}\bigr)^\top=(5,5)^\top=5(1,1)^\top.
    Portanto A está correta.]

Passo 5

(c) Existência de base de autovetores e matriz P.
Teorema usado (explicado de forma simples): autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. Aqui temos dois autovalores distintos 2 e 5, então há dois autovetores linearmente independentes; isso forma uma base de \mathbb{R}^2. Portanto existe base de autovetores.
A matriz P pedida (matriz cujas colunas são os autovetores escolhidos) é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},
onde a primeira coluna é um autovetor de 2 e a segunda coluna é um autovetor de 5.]

Passo 6

(d) Cálculo de P^{-1} e verificação de diagonalização.
Já calculei P^{-1} no Passo 4, repito sucintamente:
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo P^{-1} A P explicitamente para mostrar que resulta na diagonal com autovalores. Primeiro faço o produto P^{-1}A:
P^{-1}A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.
Faço o produto interno (mostro contas):
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{7}{2}-\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}-\tfrac{7}{2}\\[4pt] \tfrac{7}{2}+\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2}+\tfrac{7}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]5 & 5\end{pmatrix}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos
P^{-1}A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]\tfrac{5}{2} & \tfrac{5}{2}\end{pmatrix}.
Agora multiplico (P^{-1}A)P:
(P^{-1}A)P= \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]\tfrac{5}{2} & \tfrac{5}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1+(-1)\cdot(-1) & 1\cdot1+(-1)\cdot1\\[6pt]\tfrac{5}{2}\cdot1+\tfrac{5}{2}\cdot(-1) & \tfrac{5}{2}\cdot1+\tfrac{5}{2}\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix},
que é diagonal com os autovalores 2 e 5 na diagonal principal — exatamente como queríamos mostrar.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}\tfrac{7}{2} & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & \tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz P de autovetores (colunas) é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \
\displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.]

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