- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor -2) e
(autovalor 3). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear que tenha os auto-espaços dados
a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear
(com autovalor
) e
(com autovalor
), e apresentar a matriz
que representa
na base canônica.
c) Dizer se existe base de autovetores para e, caso exista, obter a matriz
cujas colunas são esses autovetores (base de autovetores em relação à base canônica).
d) Calcular e mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
c) Dizer se existe base de autovetores para
d) Calcular
Informações relevantes dadas (retomando explicitamente, pois vamos usá-las):
- O auto-espaço
é o subespaço gerado pelo vetor . - O auto-espaço
é o subespaço gerado pelo vetor . - Queremos uma transformação que satisfaça
e .
Passo 2
Definições e explicação didática (passo-a-passo, sem pular etapas):
Definição de auto-espaço: dado um operador linear
e um escalar
, chamamos de auto-espaço associado a
o conjunto
Em linguagem de álgebra linear, isso é exatamente o núcleo do operador
, ou seja,
O auto-espaço é um subespaço linear: fechado por soma e multiplicação por escalares, e contém o vetor zero.
O que isso significa na prática? Um vetor
é autovetor de
se, quando aplicamos
, o vetor apenas é esticado/contradado e possivelmente trocado de sinal, mas não muda de direção (exceto por sinal). O conjunto de todos esses vetores (mais o zero) forma o auto-espaço.
Definição de multiplicidade geométrica: para um autovalor
, sua multiplicidade geométrica é
Ou seja, é a dimensão (número de vetores de uma base) do auto-espaço. Por exemplo, se
é gerado por um único vetor não-nulo, então
.
Exemplo simples (para fixar ideia): se
, então
é uma reta passando pela origem com base
, e portanto
.
Observação importante (útil na prova): se
tem dois autovalores distintos com auto-espaços de dimensão
cada, e os autovetores correspondentes são linearmente independentes, então eles formam uma base de
composta só por autovetores (isso se chama matriz diagonalizável). Vamos usar isso no item (c).
Passo 3
Construção da transformação linear
e obtenção da matriz
na base canônica.
Estratégia prática (muito usada em prova): escolher uma base formada por autovetores e definir
pela ação nos autovetores. Aqui já nos deram os auto-espaços geradores:
Definimos
por
Se colocarmos as colunas da matriz
como esses vetores na base canônica, isto é
então, na base
a matriz de
é diagonal
A relação entre a matriz
na base canônica e
é a mudança de base usual:
Agora vamos calcular explicitamente
e
.
Cálculo do determinante de
:
Como
,
é invertível (isto também garante que
e
são linearmente independentes).
Matriz inversa de
(fórmula): para
temos
Aplicando a
dada:
Agora calculamos
. Primeiro
escala as colunas de
por
e
:
Multiplicando
por
:
Fazendo a multiplicação (mostro as contas):
- Entrada
: - Entrada
: - Entrada
: - Entrada
:
Logo
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): aplicando
a
deve dar
. De fato, multiplicando:
e aplicando a
obtém-se
. Então
está correto.]
Passo 4
Existência de base de autovetores e obtenção de
.
Como já calculado,
. Isso significa que os vetores
e
são linearmente independentes. Dois vetores linearmente independentes em
formam uma base. Portanto existe base de autovetores para
; uma escolha conveniente é
cuja primeira coluna é um autovetor associado a
e segunda coluna é um autovetor associado a
.]
Passo 5
Cálculo de
(já feito no Passo 3, repito passo a passo para clareza):
Determinante
. Pela fórmula da inversa 2×2,
Passo 6
Mostrando que
é diagonal com os autovalores na diagonal.
Argumento curto e limpo: como construímos
pela relação
, multiplicando à esquerda por
e à direita por
obtemos
que é a matriz diagonal com
e
na diagonal principal:
Se preferir ver a multiplicação numérica direta (confirmação): primeiro calculei
e então
confirmando que a matriz é diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.]
Resposta
a) O auto-espaço associado a um autovalor
é
(incluindo o zero). A multiplicidade geométrica de
é
.
b)
c) Sim. Uma base de autovetores é dada por
e
; a matriz cujas colunas são esses autovetores é
d)
e
]