- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 2) e
(autovalor 4). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
- (a) Definir o autoespaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
- (b) Construir uma transformação linear
cujos autoespaços são
e
e apresentar a matriz
que representa
na base canônica de
.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores para e, em caso afirmativo, obter a matriz
cujas colunas são os autovetores (a matriz de troca de base para a base canônica).
4. (d) Calcular e mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores para
4. (d) Calcular
Informações dadas que vamos usar:
- Os dois autoespaços são linhas (subespaços de dimensão
) gerados por e por respectivamente (peguei esses geradores a partir da descrição das retas e ). - Os autovalores associados são
(para ) e (para ).
Passo 2
(a) Definições e explicação didática.
Definição de autoespaço:
Explicação: é o conjunto (subespaço) de todos os vetores que são apenas “esticados” por
pelo fator
. Inclui o vetor zero, e tipicamente é um subespaço de dimensão ≥1 quando
é autovalor.
Definição de multiplicidade geométrica:
Explicação: é a dimensão do autoespaço (número de vetores linearmente independentes que são autovetores para
). Por exemplo, se
é uma reta em
, a multiplicidade geométrica é
; se é todo
, é
.
Pequeno exemplo concreto: se
tem
, então a multiplicidade geométrica de
é
porque
gera esse autoespaço.
Passo 3
(b) Construção da transformação
e ideia para obter a matriz
.
Observação básica: escolher um autovetor por autoespaço é suficiente. Das descrições dadas temos naturalmente os vetores geradores
Por construção queremos
Essas duas condições determinam
em toda
desde que
e
sejam linearmente independentes (então formam uma base). A maneira prática de achar a matriz
na base canônica é montar a matriz
cujas colunas são
e
, montar a diagonal
e usar a relação
Essa fórmula vem do fato de que nas coordenadas da base de autovetores a matriz de
é diagonal
, e
faz a mudança entre a base canônica e a base de autovetores.]
Passo 4
(c) Montagem de
, cálculo de
e da matriz
.
Montamos
Primeiro calculamos
:
Como
, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
. Assim existe base de autovetores (resposta à parte (c) será “sim”) e
é a matriz de autovetores.
Agora calculamos
usando a fórmula para inversa de
. Se
então
Aplicando ao nosso
obtemos
Agora calculamos
passo a passo.
Primeiro
é obtido multiplicando cada coluna de
pelo autovalor correspondente:
Agora multiplicamos por
:
Calculamos cada entrada:
Portanto
Passo 5
Verificação explícita de que
tem os autoespaços desejados (checar
e
).
Calculamos
:
Calculamos
:
Assim
realmente tem os autoespaços pedidos.]
Passo 6
(d) Mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal.
Argumento algébrico simples:
Portanto
que é a matriz diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.
Se quiser ver numericamente, usando os
,
e
calculados antes, a multiplicação dá exatamente
(a verificação numérica é análoga ao cálculo de
feito antes).]
Resposta
(a) O autoespaço associado a um autovalor
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
(b)
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz
de autovetores (colunas) é
(d)
\n
e
]