1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{4}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 4). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  1. (a) Definir o autoespaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  2. (b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos autoespaços são
E_2=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }2\text{)}
e
E_4=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }4\text{)}
e apresentar a matriz A que representa T na base canônica de \mathbb{R}^2.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, obter a matriz P cujas colunas são os autovetores (a matriz de troca de base para a base canônica).
4. (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os dois autoespaços são linhas (subespaços de dimensão 1) gerados por (1,3) e por (1,-1) respectivamente (peguei esses geradores a partir da descrição das retas E_2 e E_4).
  • Os autovalores associados são 2 (para E_2) e 4 (para E_4).

Passo 2

(a) Definições e explicação didática.
Definição de autoespaço:
\text{Se }T:V\to V\text{ é linear e } \lambda\in\mathbb{R}\text{ é um autovalor, então o autoespaço associado a }\lambda\text{ é}ééãçé
E_\lambda = \{v\in V \mid T(v)=\lambda v\}.
Explicação: é o conjunto (subespaço) de todos os vetores que são apenas “esticados” por T pelo fator \lambda. Inclui o vetor zero, e tipicamente é um subespaço de dimensão ≥1 quando \lambda é autovalor.
Definição de multiplicidade geométrica:
\text{A multiplicidade geométrica do autovalor }\lambda\text{ é } \dim(E_\lambda).éé
Explicação: é a dimensão do autoespaço (número de vetores linearmente independentes que são autovetores para \lambda). Por exemplo, se E_\lambda é uma reta em \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica é 1; se é todo \mathbb{R}^2, é 2.
Pequeno exemplo concreto: se T tem E_2=\{t(1,3)\}, então a multiplicidade geométrica de 2 é 1 porque (1,3) gera esse autoespaço.

Passo 3

(b) Construção da transformação T e ideia para obter a matriz A.
Observação básica: escolher um autovetor por autoespaço é suficiente. Das descrições dadas temos naturalmente os vetores geradores
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}\in E_2,\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\in E_4.
Por construção queremos
T(v_1)=2 v_1,\qquad T(v_2)=4 v_2.
Essas duas condições determinam T em toda \mathbb{R}^2 desde que v_1 e v_2 sejam linearmente independentes (então formam uma base). A maneira prática de achar a matriz A na base canônica é montar a matriz P cujas colunas são v_1 e v_2, montar a diagonal D=\operatorname{diag}(2,4) e usar a relação
A = P\,D\,P^{-1}.
Essa fórmula vem do fato de que nas coordenadas da base de autovetores a matriz de T é diagonal D, e P faz a mudança entre a base canônica e a base de autovetores.]

Passo 4

(c) Montagem de P, cálculo de P^{-1} e da matriz A.
Montamos
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.
Primeiro calculamos \det(P):
\det(P) = 1\cdot(-1) - 1\cdot 3 = -1 - 3 = -4.
Como \det(P)\neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim existe base de autovetores (resposta à parte (c) será “sim”) e P é a matriz de autovetores.
Agora calculamos P^{-1} usando a fórmula para inversa de 2\times 2. Se P=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} então
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando ao nosso P obtemos
P^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/4 & 1/4 \\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix}.
Agora calculamos A = P D P^{-1} passo a passo.
Primeiro P D é obtido multiplicando cada coluna de P pelo autovalor correspondente:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & -4\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por P^{-1}:
A = (P D)P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 6 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4 & 1/4 \\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix}.
Calculamos cada entrada:
A_{11}=2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{12}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2},
A_{12}=2\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},
A_{21}=6\cdot\frac{1}{4}+(-4)\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{4}-\frac{12}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2},
A_{22}=6\cdot\frac{1}{4}+(-4)\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{4}+\frac{4}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
Portanto
A=\begin{pmatrix}7/2 & -1/2 \\[4pt] -3/2 & 5/2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação explícita de que A tem os autoespaços desejados (checar T(v_1)=2v_1 e T(v_2)=4v_2).
Calculamos A v_1:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/2 & -1/2 \\[4pt] -3/2 & 5/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/2 - 3/2 \\[4pt] -3/2 + 15/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/2 \\[4pt] 12/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Calculamos A v_2:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/2 & -1/2 \\[4pt] -3/2 & 5/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7/2 + 1/2 \\[4pt] -3/2 - 5/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8/2 \\[4pt] -8/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-4\end{pmatrix} =4\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Assim A realmente tem os autoespaços pedidos.]

Passo 6

(d) Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal.
Argumento algébrico simples:
A = P D P^{-1}\quad\Rightarrow\quad P^{-1} A P = P^{-1}(P D P^{-1})P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P) = I D I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt]0 & 4\end{pmatrix},
que é a matriz diagonal com os autovalores 2 e 4 na diagonal principal.
Se quiser ver numericamente, usando os P, A e P^{-1} calculados antes, a multiplicação dá exatamente \operatorname{diag}(2,4) (a verificação numérica é análoga ao cálculo de A=PDP^{-1} feito antes).]

Resposta

(a) O autoespaço associado a um autovalor \lambda é E_\lambda=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_\lambda).
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}7/2 & -1/2 \\[4pt] -3/2 & 5/2\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe base de autovetores. Uma matriz P de autovetores (colunas) é
\displaystyle P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
(d) \displaystyle P^{-1}=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4 \\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix} \n
e \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

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