1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{4}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 4). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  1. (a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
  2. (b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são
E_{0}=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor 0) e
E_{4}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\}
(com autovalor 4), e apresentar a matriz A dessa transformação na base canônica.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores de \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
4. (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os auto-espaços dados são linhas (subespaços de dimensão 1): E_0 gerado por (1,3) e E_4 gerado por (1,-2).
  • Os autovalores correspondentes são 0 (para E_0) e 4 (para E_4).

Passo 2

Definições didáticas e aula rápida:
  • Auto-espaço associado ao autovalor \lambda: seja \mathrm{T}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Em palavras: são todos os vetores que a transformação apenas escala pelo fator \lambda. Esse conjunto é um subespaço vetorial (contém o vetor zero e é fechado por soma e multiplicação por escalar).
  • Observação prática: E_{\lambda} é o núcleo de \mathrm{T}-\lambda I, isto é,
E_{\lambda}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é,
\text{mult. geométrica}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}).é
Ela diz quantos autovetores linearmente independentes correspondem a \lambda.
Exemplo simples: se E_\lambda é uma reta por trás da origem em \mathbb{R}^2, então a multiplicidade geométrica é 1; se é todo \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica é 2.

Passo 3

Escolher autovetores geradores dos auto-espaços dados:
  • Para E_{0}, qualquer vetor não nulo da forma (t,3t) serve. Tomo
v_1=(1,3).
  • Para E_{4}, tomo
v_2=(1,-2).
Verificação rápida (intuição): queremos \mathrm{T}(v_1)=0 e \mathrm{T}(v_2)=4v_2. Se conseguirmos uma matriz A tal que A v_1=0 e A v_2=4v_2, então A representa a transformação pedida na base canônica.

Passo 4

Construir a matriz A na base canônica a partir das condições nos vetores v_1,v_2.
Seja
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix}.
Aplicando A aos vetores:
  • A v_1 = A\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+3b \\[4pt] c+3d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} (pois v_1 tem autovalor 0). Isso dá as equações
a+3b=0,\qquad c+3d=0.
  • A v_2 = A\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-2b \\[4pt] c-2d \end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]-8\end{pmatrix}.
    Isto dá
a-2b=4,\qquad c-2d=-8.]

Passo 5

Resolver o sistema para a,b,c,d.
Das duas primeiras equações temos a=-3b e c=-3d.
Substituindo em a-2b=4 obtemos
-3b-2b=4 \implies -5b=4 \implies b=-\tfrac{4}{5}.
Então
a=-3b= -3\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{12}{5}.
De modo análogo, em c-2d=-8 com c=-3d:
-3d-2d=-8 \implies -5d=-8 \implies d=\tfrac{8}{5},
e
c=-3d=-3\left(\tfrac{8}{5}\right)=-\tfrac{24}{5}.

Passo 6

Escrever a matriz A obtida.
Em forma de matriz:
A=\begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[4pt] -\tfrac{24}{5} & \tfrac{8}{5}\end{pmatrix} =\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}12 & -4 \\[4pt] -24 & 8\end{pmatrix}.
Verificação rápida:
  • A(1,3)^\top = (0,0)^\top.
  • A(1,-2)^\top = (4,-8)^\top = 4(1,-2)^\top.
    Portanto A representa a transformação desejada.]

Passo 7

Responder (c): existe base de autovetores?
Os vetores v_1=(1,3) e v_2=(1,-2) são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), portanto formam uma base de \mathbb{R}^2. Como são autovetores correspondentes a autovalores (diferentes), eles formam uma base de autovetores. A matriz P que tem essas colunas (colunas = autovetores escritos na base canônica) é
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular P^{-1} explicitamente.
Usamos a fórmula do inverso de 2\times2. O determinante de P é
\det(P)=1\cdot(-2)-1\cdot 3 = -2-3 = -5.
Então
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Observação conceitual: como as colunas de P são autovetores, vale a igualdade matricial
A P = P D,
onde
D=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}
é a diagonal com os autovalores. Isso porque A aplicado às colunas de P A v_1 = 0 = 0\cdot v_1 e A v_2 = 4 v_2, isto é, as colunas de A P são exatamente as colunas de P D. Multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
P^{-1} A P = D.
Para confirmar numericamente, calculamos A P e depois P^{-1}(A P):
  • A P = \bigl[A v_1,\; A v_2\bigr] = \bigl[0,\;4 v_2\bigr] = \begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 0 & -8\end{pmatrix}.
  • Multiplicando por P^{-1}=\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} obtemos
P^{-1} A P = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt] 0 & -8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}=D.
Portanto P^{-1} A P é diagonal com os autovalores 0 e 4 na diagonal principal.]

Resposta

(a) Auto-espaço associado a \lambda: E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_{\lambda}).
(b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[4pt] -\tfrac{24}{5} & \tfrac{8}{5}\end{pmatrix}.
(c) Sim. Uma base de autovetores é \{(1,3),(1,-2)\} e
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

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