- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 0 ) e
(autovalor 4). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
- (a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
- (b) Construir uma transformação linear
cujos auto-espaços são
(com autovalor
) e
(com autovalor
), e apresentar a matriz
dessa transformação na base canônica.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores de e, se existir, obter a matriz
cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
4. (d) Calcular e mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
3. (c) Dizer se existe base de autovetores de
4. (d) Calcular
Informações relevantes do enunciado:
- Os auto-espaços dados são linhas (subespaços de dimensão
): gerado por e gerado por . - Os autovalores correspondentes são
(para ) e (para ).
Passo 2
Definições didáticas e aula rápida:
- Auto-espaço associado ao autovalor
: seja . O auto-espaço associado a é o conjunto
Em palavras: são todos os vetores que a transformação apenas escala pelo fator
. Esse conjunto é um subespaço vetorial (contém o vetor zero e é fechado por soma e multiplicação por escalar).
- Observação prática:
é o núcleo de , isto é,
- Multiplicidade geométrica de um autovalor
: é a dimensão do auto-espaço , isto é,
Ela diz quantos autovetores linearmente independentes correspondem a
.
Exemplo simples: se é uma reta por trás da origem em
, então a multiplicidade geométrica é
; se é todo
, a multiplicidade geométrica é
.
Exemplo simples: se
Passo 3
Escolher autovetores geradores dos auto-espaços dados:
- Para
, qualquer vetor não nulo da forma serve. Tomo
- Para
, tomo
Verificação rápida (intuição): queremos
e
. Se conseguirmos uma matriz
tal que
e
, então
representa a transformação pedida na base canônica.
Passo 4
Construir a matriz
na base canônica a partir das condições nos vetores
.
Seja
Seja
Aplicando
aos vetores:
-
(pois tem autovalor ). Isso dá as equações
-
Isto dá
Passo 5
Resolver o sistema para
.
Das duas primeiras equações temos e
.
Substituindo em obtemos
Das duas primeiras equações temos
Substituindo em
Então
De modo análogo, em
com
:
e
Passo 6
Escrever a matriz
obtida.
Em forma de matriz:
Em forma de matriz:
Verificação rápida:
-
. -
.
Portantorepresenta a transformação desejada.]
Passo 7
Responder (c): existe base de autovetores?
Os vetores e
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), portanto formam uma base de
. Como são autovetores correspondentes a autovalores (diferentes), eles formam uma base de autovetores. A matriz
que tem essas colunas (colunas = autovetores escritos na base canônica) é
Os vetores
Passo 8
Calcular
explicitamente.
Usamos a fórmula do inverso de . O determinante de
é
Usamos a fórmula do inverso de
Então
Passo 9
Mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Observação conceitual: como as colunas de são autovetores, vale a igualdade matricial
Observação conceitual: como as colunas de
onde
é a diagonal com os autovalores. Isso porque
aplicado às colunas de
dá
e
, isto é, as colunas de
são exatamente as colunas de
. Multiplicando à esquerda por
obtemos
Para confirmar numericamente, calculamos
e depois
:
-
- Multiplicando por
obtemos
Portanto
é diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal.]
Resposta
(a) Auto-espaço associado a
:
. Multiplicidade geométrica de
:
.
(b)
(c) Sim. Uma base de autovetores é
e
(d)
]