a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{3}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
(a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
(b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cujos auto-espaços são E_{2}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{3}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor 3), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica de \mathbb{R}^{2}.
(c) Dizer se existe base de autovetores de \mathbb{R}^{2} e, se existir, obter a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base para a base canônica).
(d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
O auto-espaço associado ao autovalor 2 é E_{2}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
O auto-espaço associado ao autovalor 3 é E_{3}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Passo 2
Definições pedidas em (a) — explicação didática e com exemplos simples.
Auto-espaço (ou espaço próprio) associado a um autovalor:
Seja \mathrm{T}:V\to V uma transformação linear e \lambda um autovalor (valor próprio). O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
Em palavras: é o conjunto de vetores que são apenas escalados por \lambda quando aplicamos \mathrm{T}. Sempre contém o vetor 0 e é um subespaço vetorial de V.
Multiplicidade geométrica de um autovalor:
A multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}, isto é,
Intuição: quantos vetores linearmente independentes têm a propriedade \mathrm{T}(v)=\lambda v. Por exemplo, se E_{\lambda} é uma reta passando pela origem, a multiplicidade geométrica é 1; se é um plano, é 2, etc.
Exemplo rápido (para fixar): se E_{\lambda}=\{(t,4t)\} então \dim(E_{\lambda})=1 (é uma reta). Se dois autovalores distintos têm auto-espaços de dimensão 1 e os seus vetores são independentes, então formam base de \mathbb{R}^{2}.
Passo 3
Escolha de autovetores e verificação de independência (preparando (b) e (c)).
Do auto-espaço E_{2}=\{(t,4t)\} escolho o autovetor \displaystyle v_{1}=(1,4) (tomando t=1).
Do auto-espaço E_{3}=\{(t,-t)\} escolho o autovetor \displaystyle v_{2}=(1,-1) (tomando t=1).
Agora verifico que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes: formo a matriz cujas colunas são v_{1} e v_{2},
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}.
Calculo o determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 4=-1-4=-5\neq 0,
logo as colunas são linearmente independentes. Isso significa que v_{1} e v_{2} formam uma base de \mathbb{R}^{2}.]
Passo 4
Montagem da matriz diagonal D dos autovalores e explicação da relação A=PDP^{-1}.
Como escolhi a ordem das colunas de P sendo primeiro o autovetor de autovalor 2 e depois o autovetor de autovalor 3, a matriz diagonal correspondente é
D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Propriedade essencial (explicação): se as colunas de P são autovetores v_{1},v_{2} com autovalores \lambda_{1},\lambda_{2}, então para a transformação linear \mathrm{T} que tem esses autovetores, vale
A P = P D,
onde A é a matriz de \mathrm{T} na base canônica. Reescrevendo,
A = P D P^{-1}.
Intuição: P transforma coordenadas na base de autovetores para coordenadas canônicas; D aplica os fatores \lambda_{1},\lambda_{2} sobre essa base; P^{-1} traz de volta para a base canônica.]
(b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{14}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[6pt]-\tfrac{4}{5} & \tfrac{11}{5}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}14 & -1\\[4pt]-4 & 11\end{pmatrix}.\n
\text{(c)} Sim. Uma base de autovetores é \(\{(1,4),(1,-1)\} e a matriz P (colunas são esses vetores) é P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]4 & -1\end{pmatrix}.\n