1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(t, 2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{3}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 3). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas (a, b, c, d). As informações dadas são:
  • O autoespaço associado ao autovalor 0 é E_{0}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
  • O autoespaço associado ao autovalor 3 é E_{3}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
    As perguntas explícitas:
  1. (a) Definir o autoespaço de um autovalor e a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  2. (b) Determinar uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos autoespaços sejam exatamente os dados e apresentar a matriz A de T na base canônica.
  3. (c) Dizer se existe uma base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, dar a matriz P cujas colunas são esses autovetores (relacionando-a à base canônica).
  4. (d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 2

(a) Definições e explicação didática:
  • O autoespaço associado a um autovalor \lambda de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores não nulos v tais que T(v)=\lambda v, junto com o vetor zero. Em linguagem de operadores, é o núcleo de T-\lambda I:
E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^n\mid (T-\lambda I)v=0\}.
Explicação curta: é o conjunto de vetores que são apenas escalados por T, sem mudar de direção — formam um subespaço linear.
  • A multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do autoespaço E_{\lambda}, isto é,
\text{multidade geométrica}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}).é
Intuição: quantos autovetores linearmente independentes correspondem a esse autovalor.

Passo 3

(b) Estratégia para construir T: escolher um autovetor não-nulo em cada autoespaço e definir T para que esses vetores sejam autovetores com os autovalores dados. Vou escolher vetores simples geradores dos autoespaços:
  • Em E_{0} tomo v_{1}=(1,2) (corresponde a t=1).
  • Em E_{3} tomo v_{2}=(1,-1) (corresponde a t=1).
Primeiro verifiquemos que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes: considere a matriz com essas colunas,
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot 2=-1-2=-3\neq 0,
logo v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 4

(b) Agora definimos T exigindo T(v_{1})=0\cdot v_{1}=0 e T(v_{2})=3\cdot v_{2}. Em notação matricial, se colocarmos as colunas de P como os autovetores e D como a matriz diagonal dos autovalores, então a matriz A de T na base canônica satisfaz
A = P\,D\,P^{-1}, \qquad\text{onde}\qquad D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Vou calcular A explicitamente.]

Passo 5

(c)/(d) Cálculo de P^{-1}. Para a matriz P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} usamos a fórmula da inversa de 2\times2:
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Como \det(P)=-3, obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Explicação breve do passo: trocamos a,d e mudamos sinal de b,c na matriz original, e dividimos pelo determinante.]

Passo 6

(b) Cálculo direto de A=PDP^{-1} de forma explícita, em duas etapas.
Primeiro computamos P D. Como D multiplica a primeira coluna de P por 0 e a segunda por 3,
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos (P D) por P^{-1}:
A = (P D)P^{-1} = \begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Realizando a multiplicação linha por coluna:
  • Entrada (1,1): 0\cdot \tfrac{1}{3} + 3\cdot \tfrac{2}{3} = 0 + 2 = 2.
  • Entrada (1,2): 0\cdot \tfrac{1}{3} + 3\cdot \left(-\tfrac{1}{3}\right) = -1.
  • Entrada (2,1): 0\cdot \tfrac{1}{3} + (-3)\cdot \tfrac{2}{3} = -2.
  • Entrada (2,2): 0\cdot \tfrac{1}{3} + (-3)\cdot \left(-\tfrac{1}{3}\right)=1.
Portanto
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificações (úteis para prova): aplicar A aos autovetores escolhidos.
  • A v_{1}=A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+(-1)\cdot2\\[4pt]-2\cdot1+1\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}=0\cdot v_{1}.
  • A v_{2}=A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+(-1)\cdot(-1)\\[4pt]-2\cdot1+1\cdot(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\end{pmatrix}=3\cdot v_{2}.
Isso confirma que os autoespaços pedidos realmente correspondem aos autovalores indicados.]

Passo 8

(d) Mostrar explicitamente que P^{-1}AP é diagonal. Podemos calcular AP facilmente observando que AP=[Av_{1}\; Av_{2}]=[0\; 3v_{2}], logo
A P=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1}:
P^{-1}AP = P^{-1}\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Como P^{-1}0=0 e P^{-1}(3v_{2})=3(P^{-1}v_{2}), e sabendo que P^{-1}v_{2}=e_{2} (porque as colunas de P são v_{1},v_{2}), obtemos
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},
que é a matriz diagonal com os autovalores 0 e 3 na diagonal principal.]

Resposta

a) O autoespaço associado a um autovalor \lambda é E_{\lambda}=\ker(T-\lambda I)=\{v\in\mathbb{R}^n\mid (T-\lambda I)v=0\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
b) A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
c) Sim. Uma base de autovetores é formada por v_{1}=(1,2) (autovalor 0) e v_{2}=(1,-1) (autovalor 3); a matriz cujas colunas são esses vetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
d) P^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.]

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