1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{-2}= \{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor -2 ) e E_{2}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede 4 coisas separadas:
  1. (a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
  2. (b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são E_{-2}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor -2) e E_{2}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor 2), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica.
  3. (c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cuja coluna são esses autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica.
  4. (d) Calcular a matriz inversa de P e mostrar que P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas relevantes:
  • Os auto-espaços são linhas geradas por (1,4) para o autovalor -2 e por (1,-2) para o autovalor 2, pois E_{-2}=\operatorname{span}\{(1,4)\} e E_2=\operatorname{span}\{(1,-2)\}.

Passo 2

(a) Definições — explicando passo a passo como pensar nisso:
  • Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: é o conjunto de vetores que são enviadas por \mathrm{T} em múltiplos escalares por \lambda. Formalmente, para uma transformação linear \mathrm{T} em um espaço vetorial V,
\text{o auto-espaço de } \lambda \text{ é } E_\lambda=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.çé
Outra maneira útil de ver: E_\lambda é o núcleo (nulidade) da transformação \mathrm{T}-\lambda I, isto é,
E_\lambda=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_\lambda. Em palavras, quantos vetores linearmente independentes (autovetores) correspondem a \lambda. Assim,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_\lambda).é
Exemplo rápido para fixar: se E_\lambda é uma reta (todos múltiplos de um vetor não-nulo), sua multiplicidade geométrica é 1. Se é o plano inteiro em \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica é 2.

Passo 3

(b) Escolhendo autovetores concretos a partir dos auto-espaços dados:
  • De E_{-2}=\{(t,4t)\} escolhemos o autovetor \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix} (tomando t=1). Então \mathrm{T}(v_1)=-2 v_1.
  • De E_{2}=\{(t,-2t)\} escolhemos o autovetor \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} (tomando t=1). Então \mathrm{T}(v_2)=2 v_2.
Explicação: podemos escolher qualquer vetor não nulo de cada auto-espaço; escolher t=1 facilita as contas.]

Passo 4

Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (importante para obter a matriz A):
  • Formamos a matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]4 & -2\end{pmatrix}.
  • Calculamos o determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-2)-1\cdot4=-2-4=-6\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes. Portanto v_1,v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2.]

Passo 5

Relação matricial entre A, P e a matriz diagonal D dos autovalores:
  • Se colocarmos P com colunas os autovetores e D a diagonal dos autovalores correspondentes, temos sempre
A P = P D,
porque cada coluna de P é um autovetor: A v_i = \lambda_i v_i. Assim, isolando A,
A = P D P^{-1}.
Aqui tomamos
D=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular P D explicitamente (etapa intermediária útil para multiplicações):
  • Multiplicando P por D (cada coluna de P multiplicada pelo autovalor correspondente) obtemos
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]-8 & -4\end{pmatrix}.
Explicação: primeira coluna -2\cdot v_1=(-2,-8)^T, segunda coluna 2\cdot v_2=(2,-4)^T.]

Passo 7

Calcular P^{-1} passo a passo:
  • Já calculamos \det(P)=-6. Usando a fórmula da inversa de matriz 2\times2,
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt]-c & a\end{pmatrix} \quad\text{para }P=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix}.
Aqui a=1,b=1,c=4,d=-2. Logo
P^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
Podemos também escrever (simplificando o sinal)
P^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6}\\[6pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix},
mas manterei a forma com \dfrac{1}{-6} para conferir consistência nos passos seguintes se quiser.
Observação rápida de checagem: multiplicando P^{-1}P retorna a identidade (pode ser verificado).]

Passo 8

Calcular A = P D P^{-1} explicitamente (fazendo as multiplicações e simplificações):
  • Já temos P D = \begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]-8 & -4\end{pmatrix} e P^{-1}=\dfrac{1}{-6}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
  • Multiplicamos M=(P D)\cdot\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix} primeiro (sem o fator 1/(-6)):
    Cálculo elemento a elemento:
    Primeira linha de PD é (-2,2).
    M_{11}=(-2)(-2)+2(-4)=4-8=-4.
    M_{12}=(-2)(-1)+2(1)=2+2=4.
    Segunda linha de PD é (-8,-4).
    M_{21}=(-8)(-2)+(-4)(-4)=16+16=32.
    M_{22}=(-8)(-1)+(-4)(1)=8-4=4.
    Logo
M=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[2pt]32 & 4\end{pmatrix}.
Agora aplicamos o fator 1/(-6):
A=\frac{1}{-6}M=\begin{pmatrix}\dfrac{-4}{-6} & \dfrac{4}{-6}\\[6pt]\dfrac{32}{-6} & \dfrac{4}{-6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3} & -\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação direta que A tem os autovalores e auto-espaços pedidos (checagem prática — muito útil na prova):
  • Calcular A v_1 com v_1=(1,4)^T:
A v_1 = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3} & -\dfrac{2}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-\dfrac{8}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3}-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[2pt]-8\end{pmatrix} =-2\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix}=-2v_1.
  • Calcular A v_2 com v_2=(1,-2)^T:
A v_2 = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3} & -\dfrac{2}{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3}+\dfrac{4}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[2pt]-4\end{pmatrix} =2\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix}=2v_2.
Resultado: confirma que E_{-2} e E_2 são os auto-espaços corretos e A está correta.]

Passo 10

(c) Existe base de autovetores para \mathbb{R}^2?
  • Sim. Como encontramos dois autovetores v_1 e v_2 linearmente independentes (determinante de P não nulo), eles formam uma base de autovetores para \mathbb{R}^2.
  • A matriz P cuja colunas são esses autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 11

(d) Já calculamos P^{-1} anteriormente; apresento de forma final e simplificada e depois mostro a diagonalização:
  • A inversa é
P^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6}\\[6pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}.
(Confira: multiplicando por P volta a identidade.)
Mostrar que P^{-1}AP é diagonal:
  • Observação teórica curta e útil na prova: como as colunas de P são autovetores com autovalores nas entradas correspondentes de D, temos AP=PD. Então
P^{-1}AP = P^{-1}(AP) = P^{-1}(PD) = (P^{-1}P)D = I D = D.
  • Logo P^{-1}AP é a matriz diagonal
\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix},
com os autovalores -2 e 2 na diagonal principal.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_\lambda).
(b) A matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica é
A=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3}\\[6pt]-\dfrac{16}{3} & -\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe base de autovetores: por exemplo v_1=(1,4)^T e v_2=(1,-2)^T. A matriz P cujas colunas são esses autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]4 & -2\end{pmatrix}.
(d) A inversa de P é
P^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6}\\[6pt]\dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{6}\end{pmatrix},
e
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix},
ou seja, é diagonal com os autovalores -2 e 2 na diagonal principal.]

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