a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{-2}= \{(t, 4 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor -2 ) e E_{2}=\{(t,-2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede 4 coisas separadas:
(a) Definir o auto-espaço associado a um autovalor e definir a multiplicidade geométrica de um autovalor.
(b) Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujos auto-espaços são E_{-2}=\{(t,4t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor -2) e E_{2}=\{(t,-2t)\mid t\in\mathbb{R}\} (autovalor 2), e apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica.
(c) Dizer se existe base de autovetores para \mathbb{R}^2 e, se existir, obter a matriz P cuja coluna são esses autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica.
(d) Calcular a matriz inversa de P e mostrar que P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações dadas relevantes:
Os auto-espaços são linhas geradas por (1,4) para o autovalor -2 e por (1,-2) para o autovalor 2, pois E_{-2}=\operatorname{span}\{(1,4)\} e E_2=\operatorname{span}\{(1,-2)\}.
Passo 2
(a) Definições — explicando passo a passo como pensar nisso:
Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: é o conjunto de vetores que são enviadas por \mathrm{T} em múltiplos escalares por \lambda. Formalmente, para uma transformação linear \mathrm{T} em um espaço vetorial V,
\text{o auto-espaço de } \lambda \text{ é } E_\lambda=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Outra maneira útil de ver: E_\lambda é o núcleo (nulidade) da transformação \mathrm{T}-\lambda I, isto é,
E_\lambda=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).
Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_\lambda. Em palavras, quantos vetores linearmente independentes (autovetores) correspondem a \lambda. Assim,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_\lambda).
Exemplo rápido para fixar: se E_\lambda é uma reta (todos múltiplos de um vetor não-nulo), sua multiplicidade geométrica é 1. Se é o plano inteiro em \mathbb{R}^2, a multiplicidade geométrica é 2.
Passo 3
(b) Escolhendo autovetores concretos a partir dos auto-espaços dados:
De E_{-2}=\{(t,4t)\} escolhemos o autovetor \displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\end{pmatrix} (tomando t=1). Então \mathrm{T}(v_1)=-2 v_1.
De E_{2}=\{(t,-2t)\} escolhemos o autovetor \displaystyle v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\end{pmatrix} (tomando t=1). Então \mathrm{T}(v_2)=2 v_2.
Explicação: podemos escolher qualquer vetor não nulo de cada auto-espaço; escolher t=1 facilita as contas.]
Passo 4
Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes (importante para obter a matriz A):
Formamos a matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt]4 & -2\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-2)-1\cdot4=-2-4=-6\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes. Portanto v_1,v_2 formam uma base de \mathbb{R}^2.]
Passo 5
Relação matricial entre A, P e a matriz diagonal D dos autovalores:
Se colocarmos P com colunas os autovetores e D a diagonal dos autovalores correspondentes, temos sempre
A P = P D,
porque cada coluna de P é um autovetor: A v_i = \lambda_i v_i. Assim, isolando A,
mas manterei a forma com \dfrac{1}{-6} para conferir consistência nos passos seguintes se quiser.
Observação rápida de checagem: multiplicando P^{-1}P retorna a identidade (pode ser verificado).]
Passo 8
Calcular A = P D P^{-1} explicitamente (fazendo as multiplicações e simplificações):
Já temos P D = \begin{pmatrix}-2 & 2\\[2pt]-8 & -4\end{pmatrix} e P^{-1}=\dfrac{1}{-6}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicamos M=(P D)\cdot\begin{pmatrix}-2 & -1\\[2pt]-4 & 1\end{pmatrix} primeiro (sem o fator 1/(-6)):
Cálculo elemento a elemento:
Primeira linha de PD é (-2,2).
– M_{11}=(-2)(-2)+2(-4)=4-8=-4.
– M_{12}=(-2)(-1)+2(1)=2+2=4.
Segunda linha de PD é (-8,-4).
– M_{21}=(-8)(-2)+(-4)(-4)=16+16=32.
– M_{22}=(-8)(-1)+(-4)(1)=8-4=4.
Logo
Resultado: confirma que E_{-2} e E_2 são os auto-espaços corretos e A está correta.]
Passo 10
(c) Existe base de autovetores para \mathbb{R}^2?
Sim. Como encontramos dois autovetores v_1 e v_2 linearmente independentes (determinante de P não nulo), eles formam uma base de autovetores para \mathbb{R}^2.
(Confira: multiplicando por P volta a identidade.)
Mostrar que P^{-1}AP é diagonal:
Observação teórica curta e útil na prova: como as colunas de P são autovetores com autovalores nas entradas correspondentes de D, temos AP=PD. Então
P^{-1}AP = P^{-1}(AP) = P^{-1}(PD) = (P^{-1}P)D = I D = D.
Logo P^{-1}AP é a matriz diagonal
\begin{pmatrix}-2 & 0\\[2pt]0 & 2\end{pmatrix},
com os autovalores -2 e 2 na diagonal principal.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado a um autovalor \lambda é E_\lambda=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_\lambda).
(b) A matriz A que representa \mathrm{T} na base canônica é