a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{5}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos, sem resolver ainda.
Pedido (a): Definir “auto-espaço associado a um autovalor” e “multiplicidade geométrica de um autovalor”.
Pedido (b): Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cujo auto-espaço associado ao autovalor 2 seja
E_{2}=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\},
e cujo auto-espaço associado ao autovalor 5 seja
E_{5}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Além disso apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} em relação à base canônica de \mathbb{R}^{2}.
Pedido (c): Dizer se existe base de autovetores de \mathbb{R}^{2}. Se existir, obter a matriz P cuja coluna são os autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica.
Pedido (d): Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
Os dois auto-espaços são linhas de dimensão 1 em \mathbb{R}^{2}: E_{2}=\text{span}\{(1,3)\} e E_{5}=\text{span}\{(1,-1)\}.
Os autovalores correspondentes são 2 (para E_2) e 5 (para E_5).
Não há outros dados; podemos escolher vetores geradores simples para cada auto-espaço.
Passo 2
(a) Vou explicar didaticamente as definições pedidas, passo a passo, sem assumir que você já sabe.
Auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V uma transformação linear e seja \lambda\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) um autovalor. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Ou seja, é o conjunto de vetores que são apenas escalados por \mathrm{T}. Note que E_{\lambda} é um subespaço linear de V. Em termos práticos, se você encontrar um vetor não-nulo v com \mathrm{T}(v)=\lambda v, então toda a reta \{t v\mid t\in\mathbb{R}\} está dentro de E_{\lambda}.
Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}; ou seja,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_{\lambda}).
Em palavras: quantas direções linearmente independentes de autovetores correspondem ao mesmo autovalor. Exemplo rápido: se E_\lambda é gerado por um só vetor não-nulo, a multiplicidade geométrica é 1. Se E_\lambda=\{0\} então \lambda não é autovalor.
Explicação intuitiva curta: autovalores dizem “quanto” a transformação escala numa certa direção; auto-espaços dizem “quais direções” são escaladas; a multiplicidade geométrica conta quantas direções independentes são escaladas pelo mesmo fator.
Passo 3
(b) Construindo a transformação \mathrm{T} pedida. Estratégia prática (a que você deve usar na prova): escolher um autovetor não-nulo de cada auto-espaço, montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores e usar que, nessa base de autovetores, a matriz da transformação é diagonal com entradas 2 e 5. Depois convertemos essa matriz diagonal para a base canônica por conjugação.
Esses vetores obedecem \mathrm{T}(v_{1})=2 v_{1} e \mathrm{T}(v_{2})=5 v_{2} por construção (isso é o que significa serem autovetores com esses autovalores).
Passo 4
Verificando que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (importante para formarem uma base de \mathbb{R}^{2}).
Calculo o determinante da matriz cujas colunas são v_{1} e v_{2}:
Na base \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2}\} a matriz da transformação é a diagonal
D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
porque \mathrm{T}(v_{1})=2v_{1} e \mathrm{T}(v_{2})=5v_{2}.
A relação entre as matrizes nas duas bases é a conjugação
A = P D P^{-1},
onde A é a matriz de \mathrm{T} na base canônica (o que o enunciado pede).]
Passo 6
(c) Resposta sobre existência de base de autovetores e P.
Existe base de autovetores? Sim: como acabamos de ver, os vetores v_{1}=(1,3) e v_{2}=(1,-1) são autovetores correspondentes a autovalores distintos 2 e 5, são linearmente independentes, e portanto formam uma base de \mathbb{R}^{2} composta apenas de autovetores. Assim existe base de autovetores.
Matriz P pedida (colunas são os autovetores na base canônica):
Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores.
Usando a relação que já usamos, como construímos A por A=P D P^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P) = I D I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
que é a matriz diagonal com os autovalores 2 e 5 na diagonal principal. Se quiser, pode multiplicar explicitamente P^{-1} A P usando os P^{-1}, A e P calculados para confirmar numericamente, mas a argumentação por conjugação é suficiente e elegante.]
Resposta
(a) O auto-espaço associado ao autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).