1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{2}=\{(t, 3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2) e E_{5}=\{(t,-t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 5). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos, sem resolver ainda.
  • Pedido (a): Definir “auto-espaço associado a um autovalor” e “multiplicidade geométrica de um autovalor”.
  • Pedido (b): Determinar uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} cujo auto-espaço associado ao autovalor 2 seja
E_{2}=\{(t,3t)\mid t\in\mathbb{R}\},
e cujo auto-espaço associado ao autovalor 5 seja
E_{5}=\{(t,-t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Além disso apresentar a matriz A que representa \mathrm{T} em relação à base canônica de \mathbb{R}^{2}.
  • Pedido (c): Dizer se existe base de autovetores de \mathbb{R}^{2}. Se existir, obter a matriz P cuja coluna são os autovetores (base de autovetores) em relação à base canônica.
  • Pedido (d): Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Informações relevantes dadas:
  • Os dois auto-espaços são linhas de dimensão 1 em \mathbb{R}^{2}: E_{2}=\text{span}\{(1,3)\} e E_{5}=\text{span}\{(1,-1)\}.
  • Os autovalores correspondentes são 2 (para E_2) e 5 (para E_5).
  • Não há outros dados; podemos escolher vetores geradores simples para cada auto-espaço.

Passo 2

(a) Vou explicar didaticamente as definições pedidas, passo a passo, sem assumir que você já sabe.
  • Auto-espaço associado a um autovalor: seja \mathrm{T}:V\to V uma transformação linear e seja \lambda\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) um autovalor. O auto-espaço associado a \lambda é o conjunto
E_{\lambda}=\{v\in V \mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}.
Ou seja, é o conjunto de vetores que são apenas escalados por \mathrm{T}. Note que E_{\lambda} é um subespaço linear de V. Em termos práticos, se você encontrar um vetor não-nulo v com \mathrm{T}(v)=\lambda v, então toda a reta \{t v\mid t\in\mathbb{R}\} está dentro de E_{\lambda}.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor: é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}; ou seja,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda = \dim(E_{\lambda}).é
Em palavras: quantas direções linearmente independentes de autovetores correspondem ao mesmo autovalor. Exemplo rápido: se E_\lambda é gerado por um só vetor não-nulo, a multiplicidade geométrica é 1. Se E_\lambda=\{0\} então \lambda não é autovalor.
Explicação intuitiva curta: autovalores dizem “quanto” a transformação escala numa certa direção; auto-espaços dizem “quais direções” são escaladas; a multiplicidade geométrica conta quantas direções independentes são escaladas pelo mesmo fator.

Passo 3

(b) Construindo a transformação \mathrm{T} pedida. Estratégia prática (a que você deve usar na prova): escolher um autovetor não-nulo de cada auto-espaço, montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores e usar que, nessa base de autovetores, a matriz da transformação é diagonal com entradas 2 e 5. Depois convertemos essa matriz diagonal para a base canônica por conjugação.
Escolho vetores geradores simples:
v_{1}=(1,3)\in E_{2},\qquad v_{2}=(1,-1)\in E_{5}.
Esses vetores obedecem \mathrm{T}(v_{1})=2 v_{1} e \mathrm{T}(v_{2})=5 v_{2} por construção (isso é o que significa serem autovetores com esses autovalores).

Passo 4

Verificando que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (importante para formarem uma base de \mathbb{R}^{2}).
Calculo o determinante da matriz cujas colunas são v_{1} e v_{2}:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-1\cdot 3=-1-3=-4\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^{2}.]

Passo 5

Formando a matriz P cujas colunas são os autovetores (base de autovetores):
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Na base \mathcal{B}=\{v_{1},v_{2}\} a matriz da transformação é a diagonal
D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
porque \mathrm{T}(v_{1})=2v_{1} e \mathrm{T}(v_{2})=5v_{2}.
A relação entre as matrizes nas duas bases é a conjugação
A = P D P^{-1},
onde A é a matriz de \mathrm{T} na base canônica (o que o enunciado pede).]

Passo 6

(c) Resposta sobre existência de base de autovetores e P.
  • Existe base de autovetores? Sim: como acabamos de ver, os vetores v_{1}=(1,3) e v_{2}=(1,-1) são autovetores correspondentes a autovalores distintos 2 e 5, são linearmente independentes, e portanto formam uma base de \mathbb{R}^{2} composta apenas de autovetores. Assim existe base de autovetores.
  • Matriz P pedida (colunas são os autovetores na base canônica):
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 7

(d) Calcular P^{-1}. Vou mostrar como calcular o inverso de uma 2\times2 e aplicar aqui.
Fórmula: para M=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix} com \det(M)=ad-bc\neq 0,
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a P com a=1,b=1,c=3,d=-1 temos \det(P)=-4 (já calculado), logo
P^{-1}=\frac{1}{-4}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular explicitamente A = P D P^{-1} — faço em duas etapas, mostrando as contas para você poder reproduzir na prova sem calculadora.
Primeiro calcule P D. Multiplicar P por D escala as colunas de P:
P D = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot 1 & 5\cdot 1\\[4pt] 2\cdot 3 & 5\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 6 & -5\end{pmatrix}.
Agora multiplico (P D) por P^{-1}:
A = (P D)P^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 6 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix}.
Faço cada entrada:
  • Entrada (1,1): 2\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{4}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}.
  • Entrada (1,2): 2\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\Big(-\frac{1}{4}\Big)=\frac{2}{4}-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}.
  • Entrada (2,1): 6\cdot\frac{1}{4}+(-5)\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{4}-\frac{15}{4}=-\frac{9}{4}.
  • Entrada (2,2): 6\cdot\frac{1}{4}+(-5)\cdot\Big(-\frac{1}{4}\Big)=\frac{6}{4}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}.
Portanto
A=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{4} & -\dfrac{3}{4}\\[8pt] -\dfrac{9}{4} & \dfrac{11}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação direta (importante para a prova): mostrar que A realmente envia v_{1} para 2v_{1} e v_{2} para 5v_{2}.
Calculo A v_{1} com v_{1}=(1,3):
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{17}{4}\cdot 1 + \big(-\dfrac{3}{4}\big)\cdot 3\\[6pt] -\dfrac{9}{4}\cdot 1 + \dfrac{11}{4}\cdot 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{17-9}{4}\\[6pt]\dfrac{-9+33}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{8}{4}\\[6pt]\dfrac{24}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Calculo A v_{2} com v_{2}=(1,-1):
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{17}{4}\cdot 1 + \big(-\dfrac{3}{4}\big)\cdot(-1)\\[6pt] -\dfrac{9}{4}\cdot 1 + \dfrac{11}{4}\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{17+3}{4}\\[6pt]\dfrac{-9-11}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{20}{4}\\[6pt]\dfrac{-20}{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\[4pt]-5\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isso confirma que A tem os auto-espaços pedidos.]

Passo 10

Mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores.
Usando a relação que já usamos, como construímos A por A=P D P^{-1}, multiplicando à esquerda por P^{-1} e à direita por P obtemos
P^{-1} A P = P^{-1} (P D P^{-1}) P = (P^{-1}P) D (P^{-1}P) = I D I = D.
Portanto
P^{-1} A P = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix},
que é a matriz diagonal com os autovalores 2 e 5 na diagonal principal. Se quiser, pode multiplicar explicitamente P^{-1} A P usando os P^{-1}, A e P calculados para confirmar numericamente, mas a argumentação por conjugação é suficiente e elegante.]

Resposta

(a) O auto-espaço associado ao autovalor \lambda é E_{\lambda}=\{v\in V\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}. A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_{\lambda}).
(b) A=\begin{pmatrix}\dfrac{17}{4} & -\dfrac{3}{4}\\[8pt] -\dfrac{9}{4} & \dfrac{11}{4}\end{pmatrix}.
(c) Sim, existe base de autovetores; uma escolha é v_{1}=(1,3), v_{2}=(1,-1). A matriz P cujas colunas são esses autovetores é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
(d) P^{-1}=\begin{pmatrix}1/4 & 1/4\\[4pt] 3/4 & -1/4\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.]

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