O enunciado pede que eu defina “translação pura”. Não há outros dados numéricos nem figura; só preciso dar a definição e explicar o conceito de forma didática, com exemplos e propriedades relevantes.
Passo 2
Intuição inicial (jeito fácil de visualizar): pense em um pedaço de papel com um desenho. Se você pegar o papel e deslocá-lo sem girar nem esticar nada, todo ponto do desenho se desloca exatamente na mesma direção e mesma distância. Esse deslocamento que move tudo igualmente é uma translação pura. É o tipo de movimento em que não há rotação nem deformação — só um “empurra que nem carrinho”.
Passo 3
Definição matemática simples e direta: uma translação pura em \mathbb{R}^n é a aplicação que soma um mesmo vetor de deslocamento a todos os pontos. Formalmente, existe um vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n tal que, para todo ponto \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n,
T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{v}.
Aqui \mathbf{x} é a posição original do ponto e \mathbf{v} é o vetor de translação (direção e magnitude do deslocamento).
Passo 4
Propriedade fundamental — preserva distâncias (é uma isometria rígida): mostro que a translação não altera distâncias entre pontos. Para quaisquer \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,
Isso prova que a translação é rígida: todas as distâncias intrínsecas do objeto permanecem iguais. Em prova/exame, escrever essa linha já é suficiente para justificar que não há deformação.
Passo 5
Observação sobre linearidade: a transformação T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{v} não é uma transformação linear quando vista como operação de \mathbb{R}^n para \mathbb{R}^n porque não preserva origem (isto é, T(\mathbf{0})=\mathbf{v}\neq\mathbf{0} quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}). Para tratar translações com matrizes, usa-se coordenadas homogêneas. Em 2D, por exemplo, a translação por \mathbf{v}=(v_x,v_y) é representada por
agindo sobre vetores homogêneos \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Composição e inverso — estrutura de grupo: se você faz duas translações por \mathbf{v}_1 e depois por \mathbf{v}_2, o resultado é a translação por \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2. O inverso de uma translação por \mathbf{v} é a translação por -\mathbf{v}. Assim as translações formam um grupo abeliano (comutativo) isomorfo ao grupo aditivo (\mathbb{R}^n,+).
Passo 7
Visão em cinemática de corpos rígidos (quando o contexto for movimento): um movimento é uma translação pura se, em cada instante, todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade linear \mathbf{V} e o corpo não tem velocidade angular (ou seja, \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}). Em termos de campo de velocidades \mathbf{v}(\mathbf{x}), para translação pura vale
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\mathbf{V}\quad\text{para todo }\mathbf{x}.
Isso distingue translação pura de rotação pura (onde as velocidades dependem da posição e há \boldsymbol{\omega}\neq\mathbf{0}).
Passo 8
Exemplo numérico e como responder numa prova: suponha um triângulo com vértices \mathbf{A}=(1,0), \mathbf{B}=(2,1), \mathbf{C}=(0,2). A translação por \mathbf{v}=(3,-1) leva
T(\mathbf{A})=(1,0)+(3,-1)=(4,-1),
T(\mathbf{B})=(2,1)+(3,-1)=(5,0),
T(\mathbf{C})=(0,2)+(3,-1)=(3,1).
Na prova, descreva a translação com a fórmula T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{v}, mostre que \|T(\mathbf{A})-T(\mathbf{B})\|=\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\| para justificar que é rígida, e dê as coordenadas resultantes como acima.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (motivação e confiança): se te pedirem “é rotação ou translação?”, verifique se existe um vetor \mathbf{v} que desloca todos os pontos pelo mesmo valor (faça um par de pontos e compare deslocamentos). Se os deslocamentos entre pares forem idênticos, é tradução; se as direções dependem da posição, provavelmente há rotação. Respira fundo — descreva a fórmula, prove preservação de distâncias com uma linha, e dê um exemplo numérico curto.
Resposta
Uma translação pura é o movimento (ou transformação) que desloca todos os pontos do espaço pela mesma quantidade dada por um vetor \mathbf{v}; formalmente, é a aplicação T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n dada por T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{v} para todo \mathbf{x}, preservando distâncias e sem causar rotação nem deformação.