(Física e Matemática) Um capacitor de 0,1 \mu F está carregado a 10 k V e conecta-se em paralelo às placas de outro capacitor, inicialmente descarregado, de 0,3 \mu F. Determinar:
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas do capacitor.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e o que se pede:
  • Capacitâncias: C_1=0{,}1\\ \mu\mathrm{F} e C_2=0{,}3\\ \mu\mathrm{F}.
  • Tensão inicial no capacitor 1: V_{1i}=10\\ \mathrm{kV}.
  • O capacitor 2 está inicialmente descarregado, logo V_{2i}=0.
  • Os capacitores são ligados em paralelo (suas placas correspondentes conectadas).
O enunciado pede:
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas após a conexão.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor (energia que o segundo ganhou).

Passo 2

Entendendo os conceitos básicos e calculando a carga inicial do primeiro capacitor.
  • Conceito: a carga armazenada num capacitor é dada por Q=C\cdot V, onde Q é a carga (em coulomb), C a capacitância (em farad) e V a diferença de potencial (em volt). Isso vem da definição de capacitância.
  • Convertemos as capacitâncias para SI (farad): C_1=0{,}1\\ \mu\mathrm{F}=0{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{F}=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}. C_2=0{,}3\\ \mu\mathrm{F}=3{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
  • Cálculo da carga inicial em C_1:
Q_{1i}=C_1\;V_{1i}=(1{,}0\times10^{-7})\cdot(10{,}0\times10^{3})=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Portanto Q_{1i}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C} (ou 1{,}0\\ \mathrm{mC}). O capacitor 2 tem Q_{2i}=0.

Passo 3

O que acontece quando os capacitores são conectados em paralelo — conservação de carga e igualdade de potencial.
  • Ao conectar em paralelo, as duas placas correspondentes ficam ao mesmo potencial, portanto no equilíbrio final a diferença de potencial nos dois será a mesma: V_f.
  • A carga total no sistema (soma algébrica das cargas das placas que se conectam) é conservada no instante da conexão, se não houver caminho para perder carga ao exterior. Assim:
Q_{\text{total}}=Q_{1i}+Q_{2i}=Q_{1f}+Q_{2f}.
  • Como Q_{1f}=C_1 V_f e Q_{2f}=C_2 V_f, temos:
Q_{\text{total}}=(C_1+C_2)\,V_f.
  • Substituindo Q_{\text{total}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C} e C_1+C_2=(1{,}0+3{,}0)\times10^{-7}\\ \mathrm{F}=4{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}, obtemos:
V_f=\frac{Q_{\text{total}}}{C_1+C_2}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{4{,}0\times10^{-7}}.
Calculemos isso passo a passo: dividir 1{,}0\times10^{-3} por 4{,}0\times10^{-7}
V_f=\frac{1{,}0}{4{,}0}\times10^{-3-(-7)}=0{,}25\times10^{4}=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Logo V_f=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}=2500\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Cálculo das cargas finais em cada capacitor.
  • Usamos Q_{1f}=C_1 V_f e Q_{2f}=C_2 V_f. Já temos V_f=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
Cálculo de Q_{1f}:
Q_{1f}=(1{,}0\times10^{-7})\cdot(2{,}5\times10^{3})=2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Cálculo de Q_{2f}:
Q_{2f}=(3{,}0\times10^{-7})\cdot(2{,}5\times10^{3})=7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Verificação rápida: Q_{1f}+Q_{2f}=2{,}5\times10^{-4}+7{,}5\times10^{-4}=1{,}0\times10^{-3}=Q_{\text{total}}, confirmado.

Passo 5

Energia armazenada em capacitores: fórmula e cálculo da energia inicial e final.
  • Conceito: a energia armazenada em um capacitor é
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Aqui U é a energia em joules, C em farad e V em volt. Essa fórmula vem da integração do trabalho necessário para carregar o capacitor gradualmente.
  • Energia inicial no sistema: só C_1 estava carregado inicialmente. Calculamos U_{1i}:
U_{1i}=\tfrac{1}{2} C_1 V_{1i}^{2}=\tfrac{1}{2}(1{,}0\times10^{-7})(10{,}0\times10^{3})^{2}.
Calculemos V_{1i}^{2}=(10{,}0\times10^{3})^{2}=10{,}0^{2}\times10^{6}=100\times10^{6}=1{,}0\times10^{8}. Então
U_{1i}=\tfrac{1}{2}(1{,}0\times10^{-7})(1{,}0\times10^{8})=\tfrac{1}{2}\times10^{1}=5{,}0\\ \mathrm{J}.
O capacitor 2 tinha U_{2i}=0.
  • Energias finais em cada capacitor com V_f=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}:
Energia final em C_1:
U_{1f}=\tfrac{1}{2}C_1 V_f^{2}=\tfrac{1}{2}(1{,}0\times10^{-7})(2{,}5\times10^{3})^{2}.
Calcule V_f^{2}=(2{,}5\times10^{3})^{2}=2{,}5^{2}\times10^{6}=6{,}25\times10^{6}. Então
U_{1f}=\tfrac{1}{2}(1{,}0\times10^{-7})(6{,}25\times10^{6})=\tfrac{1}{2}\times6{,}25\times10^{-1}=0{,}3125\\ \mathrm{J}.
Energia final em C_2:
U_{2f}=\tfrac{1}{2}C_2 V_f^{2}=\tfrac{1}{2}(3{,}0\times10^{-7})(6{,}25\times10^{6}).
Multiplicando: (3{,}0\times10^{-7})\cdot(6{,}25\times10^{6})=18{,}75\times10^{-1}=1{,}875. Metade disso:
U_{2f}=0{,}9375\\ \mathrm{J}.
  • Energia total final no sistema: U_{f}=U_{1f}+U_{2f}=0{,}3125+0{,}9375=1{,}2500\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretando a energia que “passou” do primeiro para o segundo e verificando dissipação.
  • O enunciado pede “a energia que passou do primeiro para o segundo capacitor”. Uma maneira direta de interpretar isto é: quanto a energia do capacitor 2 aumentou — isto é \Delta U_2=U_{2f}-U_{2i}=U_{2f}-0 = U_{2f}. Portanto a energia que foi para o segundo é U_{2f}=0{,}9375\\ \mathrm{J}.
  • Observação importante (útil para a prova): a energia inicial em C_1 era 5{,}0\\ \mathrm{J}, a energia final total no sistema é 1{,}25\\ \mathrm{J}. Há uma diferença de energia
\Delta U = U_{i}-U_{f}=5{,}0-1{,}25=3{,}75\\ \mathrm{J},
que não aparece como energia armazenada nos capacitores finais — essa energia foi dissipada (por exemplo como calor) durante o processo de redistribuição de carga. Isso é comum quando se conectam capacitores por fios com resistência não nula ou quando ocorre corrente transitória. Mas a energia “passada do primeiro para o segundo” no sentido do ganho do segundo é 0{,}9375\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) Q_{1f}=2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}, Q_{2f}=7{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}
(b) V_f=2{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{V}
(c) Energia que passou para o segundo: U_{2f}=0{,}9375\\ \mathrm{J}

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