(Física e Matemática) Um capacitor de
está carregado a
e conecta-se em paralelo às placas de outro capacitor, inicialmente descarregado, de
. Determinar:
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas do capacitor.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor.
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas do capacitor.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor.
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado e o que se pede:
- Capacitâncias:
e . - Tensão inicial no capacitor 1:
. - O capacitor 2 está inicialmente descarregado, logo
. - Os capacitores são ligados em paralelo (suas placas correspondentes conectadas).
O enunciado pede:
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas após a conexão.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor (energia que o segundo ganhou).
a. A carga de cada capacitor após a conexão.
b. A diferença de potencial comum entre as placas após a conexão.
c. A energia que passou do primeiro para o segundo capacitor (energia que o segundo ganhou).
Passo 2
Entendendo os conceitos básicos e calculando a carga inicial do primeiro capacitor.
- Conceito: a carga armazenada num capacitor é dada por
, onde é a carga (em coulomb), a capacitância (em farad) e a diferença de potencial (em volt). Isso vem da definição de capacitância. - Convertemos as capacitâncias para SI (farad):
. . - Cálculo da carga inicial em
:
Portanto
(ou
). O capacitor 2 tem
.
Passo 3
O que acontece quando os capacitores são conectados em paralelo — conservação de carga e igualdade de potencial.
- Ao conectar em paralelo, as duas placas correspondentes ficam ao mesmo potencial, portanto no equilíbrio final a diferença de potencial nos dois será a mesma:
. - A carga total no sistema (soma algébrica das cargas das placas que se conectam) é conservada no instante da conexão, se não houver caminho para perder carga ao exterior. Assim:
- Como
e , temos:
- Substituindo
e , obtemos:
Calculemos isso passo a passo: dividir
por
dá
Logo
.
Passo 4
Cálculo das cargas finais em cada capacitor.
- Usamos
e . Já temos .
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Verificação rápida:
, confirmado.
Passo 5
Energia armazenada em capacitores: fórmula e cálculo da energia inicial e final.
- Conceito: a energia armazenada em um capacitor é
Aqui
é a energia em joules,
em farad e
em volt. Essa fórmula vem da integração do trabalho necessário para carregar o capacitor gradualmente.
- Energia inicial no sistema: só
estava carregado inicialmente. Calculamos :
Calculemos
. Então
O capacitor 2 tinha
.
- Energias finais em cada capacitor com
:
Energia final em
:
Calcule
. Então
Energia final em
:
Multiplicando:
. Metade disso:
- Energia total final no sistema:
.
Passo 6
Interpretando a energia que “passou” do primeiro para o segundo e verificando dissipação.
- O enunciado pede “a energia que passou do primeiro para o segundo capacitor”. Uma maneira direta de interpretar isto é: quanto a energia do capacitor 2 aumentou — isto é
. Portanto a energia que foi para o segundo é . - Observação importante (útil para a prova): a energia inicial em
era , a energia final total no sistema é . Há uma diferença de energia
que não aparece como energia armazenada nos capacitores finais — essa energia foi dissipada (por exemplo como calor) durante o processo de redistribuição de carga. Isso é comum quando se conectam capacitores por fios com resistência não nula ou quando ocorre corrente transitória. Mas a energia “passada do primeiro para o segundo” no sentido do ganho do segundo é
.
Resposta
(a)
,
(b)
(c) Energia que passou para o segundo:
(b)
(c) Energia que passou para o segundo: