Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de
e armazena energia de
quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a
. (a) Calcule o módulo da carga acumulada em cada condutor. (b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Comprimento do capacitor:
. - Energia armazenada:
. - Diferença de potencial entre os condutores:
.
Perguntas:
(a) Calcular o módulo da carga acumulada em cada condutor.
(b) Calcular a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo (ou seja, , onde
é o raio interno e
o externo).
(a) Calcular o módulo da carga acumulada em cada condutor.
(b) Calcular a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo (ou seja,
Passo 2
Vamos relacionar energia armazenada e capacitância. A fórmula que liga energia
, capacitância
e tensão
é
Explicação: essa expressão vem da energia acumulada num capacitor ao carregar gradualmente a carga;
é a energia em joules,
é a capacitância em farads e
é a diferença de potencial em volts. Podemos usar essa fórmula para obter
quando conhecemos
e
.
Passo 3
Isolando
da fórmula:
Agora substituímos os valores dados:
Calculemos passo a passo:
. Então
Passo 4
Com a capacitância, a carga no capacitor (módulo em cada condutor) é
Substituindo:
Comentário didático: é isso que você levaria para a prova — primeiro achar
pela energia e depois
por
. Anote sempre as unidades.
Passo 5
Agora precisamos da relação geométrica entre os raios para um capacitor cilíndrico coaxial. Vou derivar a fórmula da capacitância de um capacitor coaxial (essa é uma ferramenta padrão que você deve saber):
-
Considere carga
no condutor interno distribuída uniformemente ao longo do comprimento . Defina densidade linear de carga . -
Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico radial entre os cilindros (para
) é
onde
é a permissividade do vácuo (no ar usamos aproximadamente o mesmo valor):
.
- A diferença de potencial entre condutores é a integral do campo radial:
- Como
, a capacitância dá
Essa é a fórmula que relaciona
, comprimento
e os raios
e
.
Passo 6
Agora isolamos
na fórmula de
:
Substituímos os valores numéricos:
,
e
.
Calcule o numerador passo a passo:
Multiplicando por
:
Agora dividir por
:
Passo 7
Encontramos
exponenciando:
Portanto a razão pedida (
) é o inverso:
Resposta
(a)
(b)
(b)