Um capacitor cilíndrico imerso no ar possui comprimento de 15,0 \mathrm{~m} e armazena energia de 3,20 \times 10^{-9} \mathrm{~J} quando a diferença de potencial entre os condutores é igual a 4,00 \mathrm{~V}. (a) Calcule o módulo da carga acumulada em cada condutor. (b) Calcule a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Comprimento do capacitor: L=15{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Energia armazenada: U=3{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{J}.
  • Diferença de potencial entre os condutores: V=4{,}00\\ \mathrm{V}.
Perguntas:
(a) Calcular o módulo da carga acumulada em cada condutor.
(b) Calcular a razão entre o raio do condutor interno e o raio do condutor externo (ou seja, a/b, onde a é o raio interno e b o externo).

Passo 2

Vamos relacionar energia armazenada e capacitância. A fórmula que liga energia U, capacitância C e tensão V é
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Explicação: essa expressão vem da energia acumulada num capacitor ao carregar gradualmente a carga; U é a energia em joules, C é a capacitância em farads e V é a diferença de potencial em volts. Podemos usar essa fórmula para obter C quando conhecemos U e V.

Passo 3

Isolando C da fórmula:
C=\frac{2U}{V^{2}}.
Agora substituímos os valores dados:
C=\frac{2\cdot(3{,}20\times10^{-9})}{(4{,}00)^{2}}.
Calculemos passo a passo: (4{,}00)^{2}=16{,}00. Então
C=\frac{6{,}40\times10^{-9}}{16{,}00}=4{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Com a capacitância, a carga no capacitor (módulo em cada condutor) é
Q=C\,V.
Substituindo:
Q=(4{,}00\times10^{-10})\cdot(4{,}00)=1{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Comentário didático: é isso que você levaria para a prova — primeiro achar C pela energia e depois Q por Q=CV. Anote sempre as unidades.

Passo 5

Agora precisamos da relação geométrica entre os raios para um capacitor cilíndrico coaxial. Vou derivar a fórmula da capacitância de um capacitor coaxial (essa é uma ferramenta padrão que você deve saber):
  1. Considere carga Q no condutor interno distribuída uniformemente ao longo do comprimento L. Defina densidade linear de carga \lambda=\dfrac{Q}{L}.
  2. Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico radial entre os cilindros (para a<r<b) é
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (no ar usamos aproximadamente o mesmo valor): \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  1. A diferença de potencial entre condutores é a integral do campo radial:
V=\int_{a}^{b} E(r)\,dr=\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  1. Como Q=\lambda L, a capacitância C=Q/V
C=\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Essa é a fórmula que relaciona C, comprimento L e os raios a e b.

Passo 6

Agora isolamos \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right) na fórmula de C:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{2\pi\varepsilon_{0}L}{C}.
Substituímos os valores numéricos: \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, L=15{,}0\\ \mathrm{m} e C=4{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Calcule o numerador passo a passo:
2\pi\varepsilon_{0}=2\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\approx 5{,}567\times10^{-11}.
Multiplicando por L:
2\pi\varepsilon_{0}L\approx 5{,}567\times10^{-11}\cdot15{,}0=8{,}351\times10^{-10}.
Agora dividir por C:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\approx\frac{8{,}351\times10^{-10}}{4{,}00\times10^{-10}}=2{,}0875\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Encontramos b/a exponenciando:
\frac{b}{a}=\exp\!\left(2{,}0875\right)\approx8{,}06.
Portanto a razão pedida ( a/b) é o inverso:
\frac{a}{b}\approx\frac{1}{8{,}06}=0{,}124\\ (\text{aprox.}).

Resposta

(a) 1{,}60\times10^{-9}\\ \mathrm{C}
(b) 0{,}124

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