Defina base e dimensão de um espaço vetorial:

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear: vamos usar as ideias de combinação linear, espaço gerado, independência linear e cardinalidade de conjuntos para construir essas definições.

Passo 2

Para falar de base precisamos antes entender dois conceitos fundamentais em um espaço vetorial V sobre um corpo K:
– Um subconjunto Gsubset V gera V se
span(G)=V,
isto é, todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de G.
– Um conjunto Lsubset V é linearmente independente se, para quaisquer escalares lambda1,dots,lambdakin K e vetores v1,dots,vkin L, a igualdade
lambda1v1+cdots+lambdakvk=0
implica lambda1=cdots=lambdak=0.

Passo 3

Com esses conceitos em mãos, definimos base de V:
um subconjunto Bsubset V é base de V se e somente se B gera V e B é linearmente independente.

Passo 4

A dimensão de V mede “quantos” vetores há em qualquer base de V:
se existe uma base finita B, definimos
dim(V)=l|Br|,
onde lvert Brvert é o número de vetores de B. Esse valor é bem-definido, pois toda base de um espaço vetorial finito tem a mesma cardinalidade. Se não existir base finita, dizemos que dim(V)=infty.

Resposta

Base de um espaço vetorial V sobre um corpo K é um subconjunto Bsubset V que gera V (ou seja, span(B)=V) e é linearmente independente (toda combinação linear que dá zero tem coeficientes nulos).
Dimensão de V é a cardinalidade de qualquer base finita de V, denotada dim(V)=lvert Brvert; se não houver base finita, diz-se dim(V)=infty.

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