O enunciado pede para definirmos o que é uma base e o que é a dimensão de um espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear: vamos usar as ideias de combinação linear, espaço gerado, independência linear e cardinalidade de conjuntos para construir essas definições.
Passo 2
Para falar de base precisamos antes entender dois conceitos fundamentais em um espaço vetorial sobre um corpo :
– Um subconjunto gera se
isto é, todo vetor de pode ser escrito como combinação linear finita de elementos de .
– Um conjunto é linearmente independente se, para quaisquer escalares e vetores , a igualdade
implica .
Passo 3
Com esses conceitos em mãos, definimos base de :
um subconjunto é base de se e somente se gera e é linearmente independente.
Passo 4
A dimensão de mede “quantos” vetores há em qualquer base de :
se existe uma base finita , definimos
onde lvert Brvert é o número de vetores de B. Esse valor é bem-definido, pois toda base de um espaço vetorial finito tem a mesma cardinalidade. Se não existir base finita, dizemos que dim(V)=infty.
Resposta
Base de um espaço vetorial V sobre um corpo K é um subconjunto Bsubset V que gera V (ou seja, span(B)=V) e é linearmente independente (toda combinação linear que dá zero tem coeficientes nulos).
Dimensão de V é a cardinalidade de qualquer base finita de V, denotada dim(V)=lvert Brvert; se não houver base finita, diz-se dim(V)=infty.