Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0 e z+t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z=0 e t=0 subespaços de R^4.
Exiba uma base e a dimensão de W1 e W2. Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede base e dimensão dos subespaços
W1=(x,y,z,t)inR^4:x+y=0,;z+t=0
e
W2=(x,y,z,t)inR^4:x-y+z=0,;t=0.
Para isso vamos resolver cada sistema homogêneo, escolher variáveis livres, expressar vetores em função de parâmetros e extrair um conjunto gerador minimal, checando independência linear.

Passo 2

Em W1 as equações são
x+y=0, z+t=0
Tomamos y=a e t=b como parâmetros. Então
x=-a, z=-b,
e um vetor genérico em W1 é
(x,y,z,t)=(-a,a,-b,b)=a,(-1,1,0,0)+b,(0,0,-1,1)
Os vetores ,(-1,1,0,0) e (0,0,-1,1) são linearmente independentes e geram W1. Logo
(-1,1,0,0),;(0,0,-1,1)
é uma base de W1 e
dim W1=2.

Passo 3

Em W2 temos
x-y+z=0, t=0
Tomamos y=a e z=b. Então
x=a-b, t=0,
e
(x,y,z,t)=(a-b,a,b,0)=a,(1,1,0,0)+b,(-1,0,1,0)
Os vetores (1,1,0,0) e (-1,0,1,0) são L.I. e geram W2. Logo
(1,1,0,0),;(-1,0,1,0)
é uma base de W2 e
dim W2=2.

Resposta

W1 tem base (-1,1,0,0),(0,0,-1,1) e dimensão 2.\n W2 tem base (1,1,0,0),(-1,0,1,0) e dimensão 2.

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