a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.).
Considere três vetores \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u} \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois a dois ortogonais (i.e., \mathbf{v} \perp \mathbf{w}, \mathbf{v} \perp \mathbf{u} \in \mathbf{w} \perp \mathbf{u} ).
b) Mostre que \mathbf{v}, \mathbf{w} e \mathbf{u} são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 \mathbf{v}+\mathbf{w}, 2 \mathbf{w}+\mathbf{u} e 2 \mathbf{u}+\mathbf{v} são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores \mathbf{v}-2 \mathbf{w}, \mathbf{u}-2 \mathbf{v} e \mathbf{u}-4 \mathbf{w} são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que v, w e u são vetores unitários, calcule o ângulo entre os vetores 2 u+v e 2 v+w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente cada pergunta e as informações dadas para não nos perdermos.
  • Perguntas:
    a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
    b) Mostrar que, dadas três vetores \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n não nulos e dois a dois ortogonais, os vetores \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são linearmente independentes.
    c) Determinar se os vetores 2\mathbf{v}+\mathbf{w},\;2\mathbf{w}+\mathbf{u},\;2\mathbf{u}+\mathbf{v} são linearmente independentes; justificar.
    d) Determinar se os vetores \mathbf{v}-2\mathbf{w},\;\mathbf{u}-2\mathbf{v},\;\mathbf{u}-4\mathbf{w} são linearmente independentes; justificar.
    e) Supondo que \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são vetores unitários (norma 1) e ainda dois a dois ortogonais, calcular o ângulo entre 2\mathbf{u}+\mathbf{v} e 2\mathbf{v}+\mathbf{w} (em graus, com uma casa decimal).
  • Informações dadas (usadas em todas as partes):
    \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são não nulos e dois a dois ortogonais, ou seja \mathbf{v}\perp\mathbf{w}, \mathbf{v}\perp\mathbf{u}, \mathbf{w}\perp\mathbf{u}.
    Para a parte (e) acrescenta-se que \|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=\|\mathbf{u}\|=1.
A partir do Passo 2 começo a resolução/explicação detalhada.

Passo 2

Definição didática de linear (in)dependência — a explicação básica e a fórmula.
  • Um conjunto de vetores \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\dots,\mathbf{x}_k\} é dito linearmente dependente se existem escalares (reais) c_1,c_2,\dots,c_k, nem todos nulos, tais que
c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}.
Isto significa: você pode combinar os vetores com coeficientes não todos zero e obter o vetor nulo — há uma relação linear não trivial entre eles. Um exemplo simples: em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (2,0) são linearmente dependentes porque 2\cdot(1,0) -1\cdot(2,0) = (0,0).
  • Um conjunto de vetores \{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_k\} é dito linearmente independente se a única solução da equação
c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}
é c_1=c_2=\cdots=c_k=0. Ou seja, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos coeficientes zero). Intuitivamente: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Essas são as definições que vamos usar sempre: montar uma combinação linear igual a zero e verificar se existem coeficientes não nulos.

Passo 3

Propriedade-chave: produto interno e ortogonalidade — por que usá-lo aqui.
  • O produto interno (ou produto escalar) em \mathbb{R}^n satisfaz linearidade nas entradas: para vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} e escalar \alpha,
(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}, \quad (\alpha\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\alpha(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
  • Se \mathbf{x}\perp\mathbf{y} então \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=0.
  • Usaremos isso assim: para uma combinação linear que dá zero, tomar produto interno com \mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u} separadamente aproveita a ortogonalidade para “isolar” coeficientes.
Agora aplico isso na parte (b).

Passo 4

Parte (b): mostrar que \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são linearmente independentes — desenvolvimento passo a passo.
  • Começo supondo que exista uma combinação linear que dá zero:
\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}+\gamma\mathbf{u}=\mathbf{0},
com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Queremos mostrar que \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Tomo produto interno com \mathbf{v}. Usando linearidade e ortogonalidade:
(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}+\gamma\mathbf{u})\cdot\mathbf{v} =\alpha(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})+\beta(\mathbf{w}\cdot\mathbf{v})+\gamma(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}).
Como \mathbf{w}\perp\mathbf{v} e \mathbf{u}\perp\mathbf{v}, os dois últimos termos são zero. Assim
\alpha(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) = 0.
Como \mathbf{v} é não nulo, \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^2>0. Logo \alpha=0.
  • Pelo mesmo raciocínio, tomando produto interno com \mathbf{w} obtemos \beta\|\mathbf{w}\|^2=0, logo \beta=0. Com \mathbf{u} obtemos \gamma\|\mathbf{u}\|^2=0, logo \gamma=0.
  • Conclusão: a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são linearmente independentes.
Observação intuitiva: vetores ortogonais (não nulos) não “se misturam” quando faço produto interno; cada coeficiente fica isolado. Isso é a razão pela qual ortogonalidade dá independência.

Passo 5

Parte (c): decidir sobre [2\mathbf{v}+\mathbf{w},;2\mathbf{w}+\mathbf{u},;2\mathbf{u}+\mathbf{v}).
  • Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(2\mathbf{v}+\mathbf{w})+b(2\mathbf{w}+\mathbf{u})+c(2\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0}.
  • Expando e agrupo os coeficientes de \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}:
(2a+c)\mathbf{v}+(a+2b)\mathbf{w}+(b+2c)\mathbf{u}=\mathbf{0}.
  • Tomo produto interno com \mathbf{v}. Pela ortogonalidade, apenas o termo com \mathbf{v} sobrevive:
(2a+c)\,\|\mathbf{v}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+c=0.
  • Tomo produto interno com \mathbf{w}:
(a+2b)\,\|\mathbf{w}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad a+2b=0.
  • Tomo produto interno com \mathbf{u}:
(b+2c)\,\|\mathbf{u}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad b+2c=0.
  • Temos o sistema linear (em \mathbb{R}):
\begin{cases} 2a+c=0,\\[4pt] a+2b=0,\\[4pt] b+2c=0. \end{cases}
Agora resolvo passo a passo: da primeira c=-2a\]. Da segunda \(b=-\dfrac{a}{2}. Substituo b e c na terceira:
-\dfrac{a}{2}+2(-2a)= -\dfrac{a}{2}-4a = -\dfrac{9a}{2}=0 \implies a=0.
Se a=0 então b=0 e c=0. Assim a única solução é trivial.
  • Conclusão: os vetores 2\mathbf{v}+\mathbf{w},\;2\mathbf{w}+\mathbf{u},\;2\mathbf{u}+\mathbf{v} são linearmente independentes.
Comentário didático: mesmo que os vetores originais não sejam unitários, o argumento usa apenas que são não nulos e ortogonais; os termos \|\mathbf{v}\|^2,\|\mathbf{w}\|^2,\|\mathbf{u}\|^2 são positivos e podemos dividi-los implicitamente ao chegar nas equações para os coeficientes.]

Passo 6

Parte (d): decidir sobre [\mathbf{v}-2\mathbf{w},;\mathbf{u}-2\mathbf{v},;\mathbf{u}-4\mathbf{w}).
  • Suponha que existam p,q,r tais que
p(\mathbf{v}-2\mathbf{w})+q(\mathbf{u}-2\mathbf{v})+r(\mathbf{u}-4\mathbf{w})=\mathbf{0}.
  • Expando e agrupo por \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}:
(p-2q)\mathbf{v}+(-2p-4r)\mathbf{w}+(q+r)\mathbf{u}=\mathbf{0}.
  • Tomando produto interno com \mathbf{v} (apenas o coeficiente de \mathbf{v} sobrevive):
(p-2q)\,\|\mathbf{v}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad p-2q=0.
  • Com \mathbf{w}:
(-2p-4r)\,\|\mathbf{w}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad -2p-4r=0 \quad\Rightarrow\quad p+2r=0.
  • Com \mathbf{u}:
(q+r)\,\|\mathbf{u}\|^2=0 \quad\Rightarrow\quad q+r=0.
  • Temos o sistema
\begin{cases} p-2q=0,\\[4pt] p+2r=0,\\[4pt] q+r=0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira p=2q\]. Da terceira \(r=-q. Substituo em segunda:
p+2r = 2q + 2(-q) = 0,
que é satisfeita para qualquer q. Ou seja, as três equações não forçam p,q,r todos nulos: existe família de soluções com parâmetro q. Por exemplo, tome q=-1. Então p=2q=-2 e r=-q=1. Assim uma relação não trivial é
-2(\mathbf{v}-2\mathbf{w}) -1(\mathbf{u}-2\mathbf{v}) +1(\mathbf{u}-4\mathbf{w}) = \mathbf{0}.
Fazendo as contas para checar:
-2\mathbf{v}+4\mathbf{w} -\mathbf{u}+2\mathbf{v} +\mathbf{u}-4\mathbf{w} = \mathbf{0}.
Os termos se cancelam, confirmando a dependência.
  • Conclusão: os vetores \mathbf{v}-2\mathbf{w},\;\mathbf{u}-2\mathbf{v},\;\mathbf{u}-4\mathbf{w} são linearmente dependentes.
Didática extra: uma maneira prática em prova — montar o sistema de coeficientes em relação à base ortogonal \{\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u}\} (porque eles são independentes) e verificar se o sistema tem apenas a solução trivial. Se tiver família de soluções, é dependente.]

Passo 7

Parte (e): calcular o ângulo entre 2\mathbf{u}+\mathbf{v} e 2\mathbf{v}+\mathbf{w}, assumindo \|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|=\|\mathbf{u}\|=1 e ortogonalidade.
  • Fórmula do cosseno entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}:
\cos(\theta)=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|},
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Tomo \mathbf{a}=2\mathbf{u}+\mathbf{v} e \mathbf{b}=2\mathbf{v}+\mathbf{w}. Calculo primeiro o numerador \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}. Usando linearidade e ortogonalidade ( \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=0) e \|\mathbf{v}\|^2=\|\mathbf{u}\|^2=\|\mathbf{w}\|^2=1,
(2\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(2\mathbf{v}+\mathbf{w}) =4(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})+2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})+(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) =0+0+2+0=2.
  • Agora os denominadores: \|\mathbf{a}\|^2 e \|\mathbf{b}\|^2.
\|\mathbf{a}\|^2=(2\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot(2\mathbf{u}+\mathbf{v})=4\|\mathbf{u}\|^2+4(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\|\mathbf{v}\|^2=4+0+1=5,
logo \|\mathbf{a}\|=\sqrt{5}. De modo análogo,
\|\mathbf{b}\|^2= (2\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(2\mathbf{v}+\mathbf{w}) =4\|\mathbf{v}\|^2+ \|\mathbf{w}\|^2 =4+1=5,
logo \|\mathbf{b}\|=\sqrt{5}.
  • Assim
\cos(\theta)=\frac{2}{\sqrt{5}\,\sqrt{5}}=\frac{2}{5}=0,4.
  • Para obter \theta em graus:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{5}\right).
Usando calculadora mental/valor conhecido, \operatorname{arccos}(0{,}4)\approx 66{,}4218^\circ. Arredondando com uma casa decimal: \theta\approx 66{,}4^\circ.
Dica prática: esse tipo de conta em prova é rápido porque a ortogonalidade anula muitos produtos cruzados; sobrou apenas um termo simples no numerador.

Resposta

a) Conjunto linearmente independente: \{\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_k\} é l.i. se a única solução de \displaystyle c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0} é c_1=\cdots=c_k=0. Conjunto linearmente dependente: existe solução com alguns c_i\neq0 tal que \displaystyle c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0}.
b) Sim. \mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} são linearmente independentes.
c) Sim. 2\mathbf{v}+\mathbf{w},\;2\mathbf{w}+\mathbf{u},\;2\mathbf{u}+\mathbf{v} são linearmente independentes.
d) Não. \mathbf{v}-2\mathbf{w},\;\mathbf{u}-2\mathbf{v},\;\mathbf{u}-4\mathbf{w} são linearmente dependentes (por exemplo -2(\mathbf{v}-2\mathbf{w})-1(\mathbf{u}-2\mathbf{v})+1(\mathbf{u}-4\mathbf{w})=\mathbf{0}).
e) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{5}\right)\approx 66{,}4^\circ.

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