Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{cc}-4 & 16 \\\\ 3 & -9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -4 & 16 \\[6pt] 3 & -9 \end{pmatrix}
e pede para usar o determinante para ver se ela é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. Vamos precisar do conceito de determinante de matriz 2\times2 e da fórmula da inversa nessa dimensão.]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
A = \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix},
temos \det(A)=ad-bc. Aqui a=-4, b=16, c=3, d=-9, logo
\det(A)=(-4)\cdot(-9) - 16\cdot3 = 36 - 48 = -12.]

Passo 3

Como \det(A) = -12 \neq 0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Para matrizes 2\times2, a inversa é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo os valores:
A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} -9 & -16 \\[3pt] -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-9}{-12} & \frac{-16}{-12} \\[6pt] \frac{-3}{-12} & \frac{-4}{-12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{4}{3} \\[6pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz é inversível e
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{4}{3} \\[6pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados