Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{ccc}5 & -9 & 3 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & -9 & 3\\\\ 0 & 3 & 4\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
é inversível usando o determinante; caso seja inversível, calcular sua inversa. Para isso, primeiro vamos calcular \det(A).

Passo 2

Usamos a expansão pela primeira linha para calcular \det(A):
\det(A) =5\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 0 & 3\end{vmatrix} -(-9)\begin{vmatrix}0 & 4\\\ 1 & 3\end{vmatrix} +3\begin{vmatrix}0 & 3\\\ 1 & 0\end{vmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\begin{vmatrix}3 & 4\\\ 0 & 3\end{vmatrix} =3\cdot3 - 4\cdot0 =9, \quad \begin{vmatrix}0 & 4\\\ 1 & 3\end{vmatrix} =0\cdot3 - 4\cdot1 = -4, \quad \begin{vmatrix}0 & 3\\\ 1 & 0\end{vmatrix} =0\cdot0 - 3\cdot1 = -3.
Substituindo:
\det(A)=5\cdot9 -(-9)\cdot(-4) +3\cdot(-3) =45 -36 -9 = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A não é inversível (não existe A^{-1}).

Resposta

A matriz não é inversível, pois \det(A)=0.

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