Defina cobertura, cobertura aberta e cobertura finita de um conjunto X.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três conceitos de teoria de topologia: cobertura, cobertura aberta e cobertura finita de um conjunto X. Para isso, vamos usar a noção de família de subconjuntos de X e união desses subconjuntos.

Passo 2

Dizemos que uma família C=Ciiin I de subconjuntos de X é uma cobertura (ou simplesmente um cover) de X se a união de todos esses conjuntos for igual a X.
Quando cada Ci dessa família é um conjunto aberto de X, chamamos C de cobertura aberta de X. Aqui usamos a definição de espaço topológico em que existe uma coleção de abertos.
Se a família C que cobre X tiver apenas um número finito de conjuntos (ou seja, o índice I for finito), então C é chamada de cobertura finita de X.

Passo 3

Esses são os três conceitos pedidos, mostrando como se qualificam as coberturas de acordo com a abertura e a finitude da família.

Resposta

Uma família C=Ciiin IsubsetP(X) é:
Cobertura de X se
cupiin ICi = X
Cobertura aberta de X se, além de cobrir X, cada Ci for um aberto de X.
Cobertura finita de X se C for finita (ou seja, I é um conjunto finito).

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