Seja X subset R limitado e não vazio. Mostre que a=inf X e b=sup X são aderentes a X. Em particular a e b são aderentes a (a, b).

Passo 1

O enunciado diz para mostrar que, sendo um conjunto limitado não-vazio XsubsetR, seus extremos inferior a=inf X e superior b=sup X pertencem à aderência de X. Em outras palavras, toda vizinhança aberta de a ou de b intercepta X. Vamos usar a definição de ínfimo, supremo e ponto aderente.

Passo 2

Vamos provar que a=inf X é aderente a X. Definição: um ponto x0 é aderente a X se, para todo varepsilon>0, temos (x0-varepsilon,,x0+varepsilon)cap Xneqemptyset.
Seja varepsilon>0. Pela definição de ínfimo, a é o maior dos limites inferiores de X. Logo, não pode existir lacuna a partir de a: existe xin X tal que
x < a + varepsilon
Como a é limite inferior, todo xin X satisfaz x>= a. Assim esse x está em
(a,,a+varepsilon)subseteq(a-varepsilon,,a+varepsilon)
Portanto
(a-varepsilon,,a+varepsilon)cap Xneqemptyset,
mostrando que a é aderente a X.

Passo 3

A prova para b=sup X é análoga. Pegue varepsilon>0. Pela definição de supremo, existe yin X tal que
y > b - varepsilon
E como todo yin X satisfaz y<= b, este y está em
(b-varepsilon,,b+varepsilon)
Logo
(b-varepsilon,,b+varepsilon)cap Xneqemptyset,
de onde b é aderente a X.

Passo 4

Em particular, se tomarmos X=(a,b), temos inf X=a e sup X=b. Pelos itens anteriores, a e b são aderentes a X=(a,b).

Resposta

Os pontos a=inf X e b=sup X são aderentes a X, e, no caso de X=(a,b), os extremos a e b também são aderentes ao próprio intervalo aberto (a,b).

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