Seja
limitado e não vazio. Mostre que
e
são aderentes a
. Em particular
e
são aderentes a
.
Passo 1
O enunciado diz para mostrar que, sendo um conjunto limitado não-vazio
, seus extremos inferior
e superior
pertencem à aderência de
. Em outras palavras, toda vizinhança aberta de
ou de
intercepta
. Vamos usar a definição de ínfimo, supremo e ponto aderente.
Passo 2
Vamos provar que
é aderente a
. Definição: um ponto
é aderente a
se, para todo
, temos
.
Seja
. Pela definição de ínfimo,
é o maior dos limites inferiores de
. Logo, não pode existir lacuna a partir de
: existe
tal que
Como
é limite inferior, todo
satisfaz
. Assim esse
está em
Portanto
mostrando que
é aderente a
.
Passo 3
A prova para
é análoga. Pegue
. Pela definição de supremo, existe
tal que
E como todo
satisfaz
, este
está em
Logo
de onde
é aderente a
.
Passo 4
Em particular, se tomarmos
, temos
e
. Pelos itens anteriores,
e
são aderentes a
.
Resposta
Os pontos
e
são aderentes a
, e, no caso de
, os extremos
e
também são aderentes ao próprio intervalo aberto
.