Mostre que:
Se
, mostre que
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos o conjunto aberto
e pede para mostrar que seu conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação)
é o intervalo fechado
. Vamos usar a definição de ponto de acumulação: um ponto
é ponto de acumulação de
se, para todo
, o intervalo aberto
, excluindo possivelmente o próprio
, intersecta
em algum ponto diferente de
.
Passo 2
Primeiro, mostro que nenhum ponto fora de
pode estar em
. Se
, basta tomar
. Então o intervalo
está totalmente à esquerda de
, logo não intersecta
. Caso
argumenta‐se analogamente. Assim,
.
Em seguida, mostro que todo ponto interno pertence a
. De fato, se
, então podemos escolher qualquer
suficientemente pequeno para que
. Nesse caso essa vizinhança contém infinitos pontos de
além de
mesmo, provando que
é de acumulação. Logo
.
Em seguida, mostro que todo ponto interno
Passo 3
Por fim, mostro que as extremidades
e
também estão em
. Por exemplo, para
, dado qualquer
, o intervalo
intercepta
em pontos maiores que
(basta escolher um ponto como
). Assim
é de acumulação. O mesmo raciocínio vale para
. Logo
.
Passo 4
Combinando todas as inclusões, concluímos que
Resposta
X’ = [a,b]