Mostre que:
Se X=(a, b), mostre que X^prime=[a, b].

Passo 1

O enunciado diz que temos o conjunto aberto X=(a,b) e pede para mostrar que seu conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação) X' é o intervalo fechado [a,b]. Vamos usar a definição de ponto de acumulação: um ponto x é ponto de acumulação de X se, para todo varepsilon>0, o intervalo aberto (x-varepsilon,,x+varepsilon), excluindo possivelmente o próprio x, intersecta X em algum ponto diferente de x.

Passo 2

Primeiro, mostro que nenhum ponto fora de [a,b] pode estar em X'. Se x, basta tomar varepsilon=(a-x)/2>0. Então o intervalo (x-varepsilon,x+varepsilon)=(x-(a-x)/2,x+(a-x)/2) está totalmente à esquerda de a, logo não intersecta (a,b). Caso x>b argumenta‐se analogamente. Assim, X'subseteq[a,b].
Em seguida, mostro que todo ponto interno xin(a,b) pertence a X'. De fato, se xin(a,b), então podemos escolher qualquer varepsilon>0 suficientemente pequeno para que (x-varepsilon,x+varepsilon)subset(a,b). Nesse caso essa vizinhança contém infinitos pontos de (a,b) além de x mesmo, provando que x é de acumulação. Logo (a,b)subseteq X'.

Passo 3

Por fim, mostro que as extremidades a e b também estão em X'. Por exemplo, para x=a, dado qualquer varepsilon>0, o intervalo (a,a+varepsilon) intercepta (a,b) em pontos maiores que a (basta escolher um ponto como a+min(varepsilon,(b-a)/2)/2). Assim a é de acumulação. O mesmo raciocínio vale para b. Logo a,bsubseteq X'.

Passo 4

Combinando todas as inclusões, concluímos que X'=[a,b]

Resposta

X’ = [a,b]

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