Defina convenientemente a função
e calcule sua derivada.
Passo 1
Neste exercício vamos definir a função arccos x como o inverso da função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e depois calcular sua derivada. Para isso, precisamos lembrar o conceito de função inversa, a monotonia do cosseno em [0, π] e usar a regra da cadeia ao derivar.
Passo 2
A função cos: [0, π]→[−1,1] dada por y↦cos(y) é contínua e estritamente decrescente nesse intervalo, logo invertível. Definimos então arccos: [−1,1]→[0,π] satisfazendo
Passo 3
Para achar a derivada, seja y=arccos(x). Então cos(y)=x. Diferenciando em relação a x e usando regra da cadeia, temos
o que implica
Passo 4
Como y=arccos(x) está em [0,π], temos sin(y)=√(1−cos²(y))=√(1−x²)>0. Substituindo em dy/dx, chega-se a