Defina convenientemente a função arccos x e calcule sua derivada.

Passo 1

Neste exercício vamos definir a função arccos x como o inverso da função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e depois calcular sua derivada. Para isso, precisamos lembrar o conceito de função inversa, a monotonia do cosseno em [0, π] e usar a regra da cadeia ao derivar.

Passo 2

A função cos: [0, π]→[−1,1] dada por y↦cos(y) é contínua e estritamente decrescente nesse intervalo, logo invertível. Definimos então arccos: [−1,1]→[0,π] satisfazendo
arccos(x)=yLong<=ftrightarrow cos(y)=x

Passo 3

Para achar a derivada, seja y=arccos(x). Então cos(y)=x. Diferenciando em relação a x e usando regra da cadeia, temos
-sin(y)dydx=1
o que implica
dydx=-1sin(y)

Passo 4

Como y=arccos(x) está em [0,π], temos sin(y)=√(1−cos²(y))=√(1−x²)>0. Substituindo em dy/dx, chega-se a
ddxarccos(x)=-1raiz1-x^2, xin(-1,1)

Resposta

ddxarccos(x)=-1raiz1-x^2,;xin(-1,1).

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