Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clx^2 & se |x|<1, 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função f(x)=x^2 para |x|<1 e zero fora desse intervalo. Vamos usar a definição padrão
F(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx,
então precisaremos fazer a integral
F(omega)=integral-1^1x^2e^-iomega x,dx

Passo 2

Como x^2 é função par, podemos separar o exponencial em parte real (par) e imaginária (ímpar) e eliminar a parte ímpar. Obtemos
F(omega)=2integral0^1x^2cos(omega x),dx

Passo 3

Para calcular
I=integral0^1x^2cos(omega x),dx
ivamos aplicar integração por partes duas vezes. Primeiro, tomamos
u=x^2, dv=cos(omega x),dx
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du=2x,dx, v=sin(omega x)omega
Isso dá
integral x^2cos(omega x),dx=x^2sin(omega x)omega-integral2xsin(omega x)omega,dx

Passo 4

Na segunda aplicação de partes para
integral xsin(omega x),dx, escolhemos
u=x, dv=sin(omega x),dx
então
du=dx, v=-cos(omega x)omega
Isso leva a
integral xsin(omega x),dx=-xcos(omega x)omega+integralcos(omega x)omega,dx=-xcos(omega x)omega+sin(omega x)omega^2

Passo 5

Substituindo de volta em I, obtemos o antiderivado completo:
integral x^2cos(omega x),dx=x^2sin(omega x)omega+2xcos(omega x)omega^2-2sin(omega x)omega^3
Aí avaliamos de 0 a 1:
I=[sin(omega)omega+2cos(omega)omega^2-2sin(omega)omega^3]-0

Passo 6

Por fim, lembrando que F(omega)=2I, concluímos
F(omega)=2l(sin(omega)omega+2cos(omega)omega^2-2sin(omega)omega^3r)=2sin(omega)omega+4cos(omega)omega^2-4sin(omega)omega^3

Resposta

F(omega)= 2sin(omega)omega+4cos(omega)omega^2-4sin(omega)omega^3.

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