Calcule a transformada de Fourier das funções a seguir (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função
para
e zero fora desse intervalo. Vamos usar a definição padrão
então precisaremos fazer a integral
Passo 2
Como
é função par, podemos separar o exponencial em parte real (par) e imaginária (ímpar) e eliminar a parte ímpar. Obtemos
Passo 3
Para calcular
ivamos aplicar integração por partes duas vezes. Primeiro, tomamos
ivamos aplicar integração por partes duas vezes. Primeiro, tomamos
logo
Isso dá
Passo 4
Na segunda aplicação de partes para
, escolhemos
então
Isso leva a
Passo 5
Substituindo de volta em
, obtemos o antiderivado completo:
Aí avaliamos de 0 a 1:
Passo 6
Por fim, lembrando que
, concluímos