Sejam
três pontos distintos em um espaço com produto interno. Se
, prove que
com
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- Existem três pontos distintos
num espaço com produto interno. - A distância
é a distância induzida pela norma do produto interno, ou seja, para quaisquer pontos vale . - Está dada a igualdade
ou seja
O que o problema pede: provar que existe um escalar
tal que
Passo 2
Para simplificar a notação e ver a estrutura vetorial, defina os vetores
Observe que
Reescrevendo a igualdade dada em termos de
e
, obtém-se
Isto diz que, para os vetores
e
, a desigualdade triangular
ocorre com igualdade. Vou agora usar propriedades do produto interno para explorar essa igualdade.
Passo 3
Uma identidade útil é a expansão do quadrado da norma em função do produto interno:
Por outro lado,
Como
, elevando ao quadrado as duas expressões e igualando, cancelam-se os termos
e
e sobra
Portanto
Passo 4
Agora uso o Desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz que para quaisquer vetores
A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando
e
são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro). No nosso caso temos
, que é o caso de igualdade com sinal positivo; isso implica duas coisas importantes:
-
e são linearmente dependentes, logo existe tal que . - Pelo sinal positivo (produto interno igual ao produto das normas), o múltiplo
é não-negativo. De fato, substituindo na igualdade obtemos
logo
. Assim
.
Além disso, como os pontos são distintos, temos
e
, então
(se
então
e isso contradiz
).
Passo 5
Voltando para
,
Defina
. Como
, segue
. Substituindo
obtemos
com
, que é justamente o que se pedia.