Sejam a, b, c três pontos distintos em um espaço com produto interno. Se d(a, c)=d(a, b)+d(b, c), prove que c-a=t(b-a) com t \geq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Existem três pontos distintos a,b,c num espaço com produto interno.
  • A distância d é a distância induzida pela norma do produto interno, ou seja, para quaisquer pontos x,y vale d(x,y)=\|x-y\|.
  • Está dada a igualdade
d(a,c)=d(a,b)+d(b,c),
ou seja
\|c-a\|=\|b-a\|+\|c-b\|.
O que o problema pede: provar que existe um escalar t\ge 1 tal que
c-a = t\,(b-a).

Passo 2

Para simplificar a notação e ver a estrutura vetorial, defina os vetores
u := b-a,\qquad v := c-b.
Observe que
c-a = (b-a)+(c-b)=u+v.
Reescrevendo a igualdade dada em termos de u e v, obtém-se
\|u+v\|=\|u\|+\|v\|.
Isto diz que, para os vetores u e v, a desigualdade triangular
\|u+v\|\le \|u\|+\|v\|
ocorre com igualdade. Vou agora usar propriedades do produto interno para explorar essa igualdade.

Passo 3

Uma identidade útil é a expansão do quadrado da norma em função do produto interno:
\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\langle u,v\rangle+\|v\|^2.
Por outro lado,
(\|u\|+\|v\|)^2=\|u\|^2+2\|u\|\|v\|+\|v\|^2.
Como \|u+v\|=\|u\|+\|v\|, elevando ao quadrado as duas expressões e igualando, cancelam-se os termos \|u\|^2 e \|v\|^2 e sobra
2\langle u,v\rangle = 2\|u\|\|v\|.
Portanto
\langle u,v\rangle = \|u\|\|v\|.

Passo 4

Agora uso o Desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz que para quaisquer vetores x,y
|\langle x,y\rangle|\le \|x\|\|y\|.
A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando x e y são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro). No nosso caso temos \langle u,v\rangle = \|u\|\|v\|, que é o caso de igualdade com sinal positivo; isso implica duas coisas importantes:
  • u e v são linearmente dependentes, logo existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda u.
  • Pelo sinal positivo (produto interno igual ao produto das normas), o múltiplo \lambda é não-negativo. De fato, substituindo v=\lambda u na igualdade \langle u,v\rangle = \|u\|\|v\| obtemos
\lambda\|u\|^2 = \|u\|\|\lambda u\| = \|u\|\,|\lambda|\,\|u\|,
logo \lambda = |\lambda|\ge 0. Assim \lambda\ge 0.
Além disso, como os pontos são distintos, temos u\neq 0 e v\neq 0, então \lambda>0 (se \lambda=0 então v=0 e isso contradiz b\neq c).

Passo 5

Voltando para c-a,
c-a = u+v = u+\lambda u = (1+\lambda)u.
Defina t:=1+\lambda. Como \lambda\ge 0, segue t\ge 1. Substituindo u=b-a obtemos
c-a = t\,(b-a)
com t\ge 1, que é justamente o que se pedia.

Resposta

c-a = t\,(b-a) com t\ge 1.

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