(1) Mostre que d(a, X)=\inf \{r>0 \mid a \in B(X ; r)\}, onde B(X ; r)=\bigcup_{x \in X} B(x ; r).

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
d(a,X)=\inf\{r>0 \mid a\in B(X;r)\},
onde estão dadas as definições a seguir (vou listá‑las exatamente como estão no enunciado):
  • d(a,X)=\inf_{x\in X} d(a,x) é a distância do ponto a ao conjunto X.
  • Para x\in X e r>0 a bola aberta centrada em x é B(x;r)=\{y\mid d(y,x)<r\}.
  • A união das bolas de raio r centradas em pontos de X é B(X;r)=\bigcup_{x\in X} B(x;r).
    A questão exige mostrar que a quantidade definida por d(a,X) coincide com o ínfimo dos r>0 tais que a pertence a B(X;r).

Passo 2

Organizo a prova definindo a notação útil. Defina
\alpha:=d(a,X)=\inf_{x\in X} d(a,x)
e
S:=\{r>0 \mid a\in B(X;r)\}.
O objetivo é provar que \alpha=\inf S. Antes de começar, faço uma observação sobre o caso extremo: se X=\varnothing então, por definição, B(X;r)=\varnothing para todo r>0, logo S=\varnothing. Também, por convenção, \inf_{x\in\varnothing} d(a,x)=+\infty. Nesse caso ambos os lados da igualdade valem +\infty e a afirmação é verdadeira. A partir daqui suponho (sem perda de generalidade) que tratamos do caso geral que inclui tanto X=\varnothing quanto X\neq\varnothing; a argumentação a seguir cobre ambos os casos.

Passo 3

Interpreto S de forma mais palpável. O ponto a pertence a B(X;r) exatamente quando existe algum x\in X com d(a,x)<r. Portanto
S=\{r>0 \mid \exists\,x\in X\text{ tal que }d(a,x)<r\}.
Isto quer dizer que, para cada x\in X, todos os r com r>d(a,x) pertencem a S. Em outras palavras, para cada x\in X vale
(d(a,x),+\infty)\subseteq S.

Passo 4

Mostro a desigualdade \inf S\le \alpha. Tome um x\in X. Pelo que escrevemos, todo r>d(a,x) está em S. Assim \inf S\le r para todo r>d(a,x), e portanto, passando ao limite quando r\downarrow d(a,x), obtém‑se
\inf S\le d(a,x).
Como isso vale para todo x\in X, segue que
\inf S\le \inf_{x\in X} d(a,x)=\alpha.
Logo \inf S\le\alpha.
Observação sobre o passo: usei a propriedade intuitiva do ínfimo de um conjunto S\subset\mathbb{R} de que \inf S é menor ou igual a qualquer elemento de S; aqui cada intervalo (d(a,x),+\infty) está contido em S, então o ínfimo de S não pode exceder d(a,x) para nenhum x.

Passo 5

Mostro a desigualdade \alpha\le \inf S. Seja r\in S. Então, por definição de S, existe x\in X tal que d(a,x)<r. Como \alpha=\inf_{x\in X} d(a,x) é um limite inferior de todos os d(a,x), tem‑se
\alpha\le d(a,x)<r.
Isso vale para todo r\in S, ou seja, \alpha é menor ou igual a cada elemento de S. Assim \alpha é um limitante inferior de S, o que implica
\alpha\le \inf S.

Passo 6

Combinando as desigualdades obtidas nos passos anteriores, temos
\inf S\le \alpha \le \inf S,
portanto \alpha=\inf S. Traduzindo para as definições iniciais, isso significa exatamente
d(a,X)=\inf\{r>0\mid a\in B(X;r)\},
o que era o que se pediu para mostrar.

Resposta

d(a,X)=\inf\{r>0 \mid a\in B(X;r)\}

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