(1) Mostre que
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade
onde estão dadas as definições a seguir (vou listá‑las exatamente como estão no enunciado):
-
é a distância do ponto ao conjunto . - Para
e a bola aberta centrada em é . - A união das bolas de raio
centradas em pontos de é .
A questão exige mostrar que a quantidade definida porcoincide com o ínfimo dos tais que pertence a .
Passo 2
Organizo a prova definindo a notação útil. Defina
e
O objetivo é provar que
. Antes de começar, faço uma observação sobre o caso extremo: se
então, por definição,
para todo
, logo
. Também, por convenção,
. Nesse caso ambos os lados da igualdade valem
e a afirmação é verdadeira. A partir daqui suponho (sem perda de generalidade) que tratamos do caso geral que inclui tanto
quanto
; a argumentação a seguir cobre ambos os casos.
Passo 3
Interpreto
de forma mais palpável. O ponto
pertence a
exatamente quando existe algum
com
. Portanto
Isto quer dizer que, para cada
, todos os
com
pertencem a
. Em outras palavras, para cada
vale
Passo 4
Mostro a desigualdade
. Tome um
. Pelo que escrevemos, todo
está em
. Assim
para todo
, e portanto, passando ao limite quando
, obtém‑se
Como isso vale para todo
, segue que
Logo
.
Observação sobre o passo: usei a propriedade intuitiva do ínfimo de um conjunto
de que
é menor ou igual a qualquer elemento de
; aqui cada intervalo
está contido em
, então o ínfimo de
não pode exceder
para nenhum
.
Passo 5
Mostro a desigualdade
. Seja
. Então, por definição de
, existe
tal que
. Como
é um limite inferior de todos os
, tem‑se
Isso vale para todo
, ou seja,
é menor ou igual a cada elemento de
. Assim
é um limitante inferior de
, o que implica
Passo 6
Combinando as desigualdades obtidas nos passos anteriores, temos
portanto
. Traduzindo para as definições iniciais, isso significa exatamente
o que era o que se pediu para mostrar.