Considere a equação diferencial de segunda ordem
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+10 y=0
a) (0,6) Verifique que as funções f_{1}(x)=e^{2 x} e f_{2}(x)=e^{5 x} são soluções de (1).
b) (1,0) !erifique que as funções dadas no item anterior formam um conjunto fundamental de soluções da equação (1) no intervalo (-\infty,+\infty).
c) (0,9) Construa a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-7y'+10y=0
e pede três coisas:
  • (a) Verificar que f_{1}(x)=e^{2x} e f_{2}(x)=e^{5x} são soluções da equação.
  • (b) Verificar que f_{1} e f_{2} formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-\infty,+\infty).
  • (c) Construir a solução geral da equação.
Informações dadas (que vamos usar): as expressões de f_{1} e f_{2}, e a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes.

Passo 2

Verificação de f_{1}(x)=e^{2x} ser solução — cálculo das derivadas e substituição.
Derivadas:
f_{1}'(x)=2e^{2x},\qquad f_{1}''(x)=4e^{2x}.
Substituindo na equação:
f_{1}''-7f_{1}'+10f_{1}=4e^{2x}-7\cdot 2e^{2x}+10e^{2x}=(4-14+10)e^{2x}=0\cdot e^{2x}=0.
Portanto f_{1} satisfaz a equação; logo f_{1} é solução.

Passo 3

Verificação de f_{2}(x)=e^{5x} ser solução — cálculo das derivadas e substituição.
Derivadas:
f_{2}'(x)=5e^{5x},\qquad f_{2}''(x)=25e^{5x}.
Substituindo na equação:
f_{2}''-7f_{2}'+10f_{2}=25e^{5x}-7\cdot 5e^{5x}+10e^{5x}=(25-35+10)e^{5x}=0\cdot e^{5x}=0.
Portanto f_{2} também satisfaz a equação; logo f_{2} é solução.

Passo 4

Explicação sobre conjunto fundamental e teste de independência linear (didática rápida).
  • Em termos simples: um conjunto fundamental de soluções para uma EDO linear de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes; qualquer solução geral é combinação linear dessas duas.
  • Para testar independência linear de duas funções usa-se o Wronskiano. Para duas funções u(x),v(x) o Wronskiano é definido por
W(u,v)(x)=\begin{vmatrix} u(x) & v(x) \\\ u'(x) & v'(x) \end{vmatrix}=u(x)v'(x)-u'(x)v(x).
  • Teorema útil (sem demonstração longa aqui): se coeficientes da EDO são contínuos num intervalo e o Wronskiano de duas soluções é não nulo em algum ponto desse intervalo, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.

Passo 5

Cálculo do Wronskiano de f_{1} e f_{2} e conclusão sobre conjunto fundamental.
Usando as derivadas já calculadas:
W(f_{1},f_{2})(x)=\begin{vmatrix} e^{2x} & e^{5x} \\\\ 2e^{2x} & 5e^{5x} \end{vmatrix} = e^{2x}\cdot 5e^{5x}-2e^{2x}\cdot e^{5x}=(5-2)e^{7x}=3e^{7x}.
Observação: para todo x\in(-\infty,+\infty) tem-se e^{7x}>0, logo W(f_{1},f_{2})(x)=3e^{7x}\neq 0 para todo x. Pelo teorema citado, f_{1} e f_{2} são linearmente independentes em (-\infty,+\infty) e, sendo duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem, formam um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 6

Construção da solução geral — explicação e resultado.
Motivação/teoria curta: para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, é prático procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} em
y''-7y'+10y=0
obtém-se a equação característica
r^{2}-7r+10=0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2}-7r+10=(r-2)(r-5)=0,
portanto as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=5. Para raízes reais distintas r_{1},r_{2} a forma geral da solução é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Aplicando aqui:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. (Isto coincide com a conclusão anterior: f_{1} e f_{2} formam base.)

Resposta

(a) f_{1}(x)=e^{2x} e f_{2}(x)=e^{5x} são soluções da equação diferencial.
(b) f_{1} e f_{2} formam um conjunto fundamental em (-\infty,+\infty) porque W(f_{1},f_{2})(x)=3e^{7x}\neq 0 para todo x.
(c) Solução geral: y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{5x}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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