a) (0,6) Verifique que as funções f_{1}(x)=e^{2 x} e f_{2}(x)=e^{5 x} são soluções de (1).
b) (1,0) !erifique que as funções dadas no item anterior formam um conjunto fundamental de soluções da equação (1) no intervalo (-\infty,+\infty).
c) (0,9) Construa a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''-7y'+10y=0
e pede três coisas:
(a) Verificar que f_{1}(x)=e^{2x} e f_{2}(x)=e^{5x} são soluções da equação.
(b) Verificar que f_{1} e f_{2} formam um conjunto fundamental de soluções no intervalo (-\infty,+\infty).
(c) Construir a solução geral da equação.
Informações dadas (que vamos usar): as expressões de f_{1} e f_{2}, e a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 2
Verificação de f_{1}(x)=e^{2x} ser solução — cálculo das derivadas e substituição.
Portanto f_{2} também satisfaz a equação; logo f_{2} é solução.
Passo 4
Explicação sobre conjunto fundamental e teste de independência linear (didática rápida).
Em termos simples: um conjunto fundamental de soluções para uma EDO linear de segunda ordem é um par de soluções linearmente independentes; qualquer solução geral é combinação linear dessas duas.
Para testar independência linear de duas funções usa-se o Wronskiano. Para duas funções u(x),v(x) o Wronskiano é definido por
Teorema útil (sem demonstração longa aqui): se coeficientes da EDO são contínuos num intervalo e o Wronskiano de duas soluções é não nulo em algum ponto desse intervalo, então as soluções são linearmente independentes em todo o intervalo.
Passo 5
Cálculo do Wronskiano de f_{1} e f_{2} e conclusão sobre conjunto fundamental.
Observação: para todo x\in(-\infty,+\infty) tem-se e^{7x}>0, logo W(f_{1},f_{2})(x)=3e^{7x}\neq 0 para todo x. Pelo teorema citado, f_{1} e f_{2} são linearmente independentes em (-\infty,+\infty) e, sendo duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem, formam um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
Passo 6
Construção da solução geral — explicação e resultado.
Motivação/teoria curta: para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, é prático procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} em
y''-7y'+10y=0
obtém-se a equação característica
r^{2}-7r+10=0.
Resolvendo a equação quadrática:
r^{2}-7r+10=(r-2)(r-5)=0,
portanto as raízes são r_{1}=2 e r_{2}=5. Para raízes reais distintas r_{1},r_{2} a forma geral da solução é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Aplicando aqui:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. (Isto coincide com a conclusão anterior: f_{1} e f_{2} formam base.)
Resposta
(a) f_{1}(x)=e^{2x} e f_{2}(x)=e^{5x} são soluções da equação diferencial.
(b) f_{1} e f_{2} formam um conjunto fundamental em (-\infty,+\infty) porque W(f_{1},f_{2})(x)=3e^{7x}\neq 0 para todo x.
(c) Solução geral: y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{5x}, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.