1, Qa) (1,0) Defina o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descreva seu método de resolução.
b) (1,5) Usando o método explicado acima, resolva a equação diferencial abaixo:
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+1 y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Definir o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descrever o método de resolução (valor 1,0).
  • (b) Usar o método do item (a) para resolver a equação diferencial dada:
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+1 y}.
Informações fornecidas: a equação diferencial explícita acima; não há condição inicial nem outras informações adicionais.

Passo 2

O que significa “variáveis separáveis” — definição precisa e intuitiva.
Definição (forma): uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é chamada de separável se puder ser escrita na forma
\frac{d y}{d x}=G(x)\,H(y),
onde G(x) depende só de x e H(y) depende só de y.
Intuição: isso significa que as dependências em x e em y podem ser “separadas” em lados diferentes da igualdade, permitindo escrever todos os termos com y multiplicando d y num lado e todos os termos com x multiplicando d x no outro lado. Depois integra-se cada lado em sua variável.
Explicação das notações: y=y(x) é a função incógnita; \dfrac{d y}{d x} é sua derivada em relação a x; G(x) e H(y) são funções conhecidas (ou identificáveis) de apenas uma das variáveis.

Passo 3

Método de resolução passo a passo (o “manual” que se usa na prova).
  1. Verificar se a equação pode ser escrita na forma \dfrac{d y}{d x}=G(x)\,H(y).
  2. Se sim, “separar” as variáveis: colocar todos os termos que dependem de y multiplicando d y num lado e todos os termos que dependem de x multiplicando d x no outro lado. Tipicamente obtém-se uma identidade do tipo
\frac{1}{H(y)}\,d y = G(x)\,d x.
  1. Integrar ambos os lados (integração indefinida):
\int \frac{1}{H(y)}\,d y = \int G(x)\,d x + C,
onde C é a constante de integração. Explicar: cada integral é feita com respeito à sua variável; o sinal +C representa a família de soluções.
4) Resolver a equação resultante para y (se possível), obtendo a solução explícita y(x) ou, pelo menos, uma solução implícita envolvendo x, y e C.
5) Verificar se existem soluções singulares (por exemplo, constantes) que a separação possa não ter capturado; isto é feito conferindo se existe y= constante que satisfaça a equação original.
Observação prática: ao integrar, escolha antiderivadas conhecidas (ex.: \int e^{ax}\,dx=\tfrac{1}{a}e^{ax} quando a\neq0; \int e^{u}\,du=e^{u}, etc.). Sempre coloque a constante de integração uma vez, no lado conveniente, e depois reorganize.

Passo 4

Aplicando o método à equação dada. Primeiro simplificar a expressão do lado direito.
A equação é
\frac{d y}{d x}=e^{3 x+1 y}.
Usar a propriedade dos exponenciais e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Assim
e^{3 x+1 y}=e^{3x}\,e^{y}.
Portanto a equação fica
\frac{d y}{d x}=e^{3x}\,e^{y},
que já está na forma G(x)H(y) com G(x)=e^{3x} e H(y)=e^{y}. Logo é separável.

Passo 5

Separar as variáveis conforme o método:
Partindo de \dfrac{d y}{d x}=e^{3x}\,e^{y}, dividir ambos os lados por e^{y} e multiplicar por d x para obter
e^{-y}\,d y = e^{3x}\,d x.
Aqui usei e^{-y}=\dfrac{1}{e^{y}}. Agora a parte em y está junto a d y e a parte em x junto a d x, pronto para integrar.

Passo 6

Integrar os dois lados. Calcular as antiderivadas:
  • Lado esquerdo: \int e^{-y}\,d y. Uma primitiva é -e^{-y}, porque \dfrac{d}{d y}(-e^{-y})=e^{-y}.
  • Lado direito: \int e^{3x}\,d x. Uma primitiva é \dfrac{1}{3}e^{3x}, porque \dfrac{d}{d x}\bigl(\tfrac{1}{3}e^{3x}\bigr)=e^{3x}.
Portanto, integrando,
\int e^{-y}\,d y = \int e^{3x}\,d x
- e^{-y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Reorganizar a expressão para uma forma mais conveniente (implícita e/ou explícita).
A partir de
- e^{-y} = \frac{1}{3}e^{3x} + C,
multiplicar ambos os lados por -1:
e^{-y} = -\frac{1}{3}e^{3x} + C_1,
onde C_1=-C é outra constante arbitrária. É comum agrupar os termos exponenciais de x e a constante; uma combinação conveniente é multiplicar por 3 e definir uma nova constante C_2. Multiplicando por 3:
3 e^{-y} = - e^{3x} + C_2.
Rearranjando,
e^{3x} + 3 e^{-y} = C_2,
onde C_2 é uma constante arbitrária real. Esta é uma forma implícita da solução geral.

Passo 8

Obter a forma explícita para y (quando possível) e discutir domínio.
Da forma
e^{-y} = C_1 - \frac{1}{3}e^{3x},
assumindo C_1 - \dfrac{1}{3}e^{3x}>0 (para que o logaritmo seja definido), podemos inverter a exponencial e tomar logaritmo para obter
-y = \ln\!\left(C_1 - \frac{1}{3}e^{3x}\right).
Assim a solução explícita é
y(x) = -\ln\!\left(C_1 - \tfrac{1}{3}e^{3x}\right),
com C_1 constante arbitrária e condicionado para cada solução ao domínio onde C_1 - \tfrac{1}{3}e^{3x}>0.
Comentário sobre soluções constantes: não existe solução constante y= constante que satisfaça a equação original, porque o lado direito e^{3x+y} é sempre positivo para todo x,y, enquanto uma solução constante teria derivada zero; logo não há solução constante.

Passo 9

Resumo final da solução (formas equivalentes):
  • Forma implícita conveniente:
e^{3x} + 3 e^{-y} = C,
onde C é constante arbitrária.
  • Forma explícita (quando o interior do logaritmo for positivo):
y(x) = -\ln\!\left(C_1 - \tfrac{1}{3}e^{3x}\right),
com C_1 constante arbitrária e domínio tal que C_1 - \tfrac{1}{3}e^{3x}>0.

Resposta

(a) Uma equação diferencial de variáveis separáveis é uma equação de primeira ordem que pode ser escrita como \dfrac{d y}{d x}=G(x)\,H(y), com G dependendo só de x e H dependendo só de y. O método consiste em separar as variáveis para obter \dfrac{1}{H(y)}\,d y=G(x)\,d x, integrar ambos os lados e resolver para y, lembrando de incluir a constante de integração e verificar domínio e soluções singulares.
(b) Solução geral (formas equivalentes):
e^{3x}+3e^{-y}=C\quad\text{(implícita)}í
y(x)=-\ln\!\left(C_1-\tfrac{1}{3}e^{3x}\right)\quad\text{(explícita, quando }C_1-\tfrac{1}{3}e^{3x}>0\text{)}í

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