1, Qa)
Defina o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descreva seu método de resolução.
b)
Usando o método explicado acima, resolva a equação diferencial abaixo:
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Definir o que é uma equação diferencial de variáveis separáveis e descrever o método de resolução (valor
). - (b) Usar o método do item (a) para resolver a equação diferencial dada:
Informações fornecidas: a equação diferencial explícita acima; não há condição inicial nem outras informações adicionais.
Passo 2
O que significa “variáveis separáveis” — definição precisa e intuitiva.
Definição (forma): uma equação diferencial ordinária de primeira ordem é chamada de separável se puder ser escrita na forma
onde
depende só de
e
depende só de
.
Intuição: isso significa que as dependências em
e em
podem ser “separadas” em lados diferentes da igualdade, permitindo escrever todos os termos com
multiplicando
num lado e todos os termos com
multiplicando
no outro lado. Depois integra-se cada lado em sua variável.
Explicação das notações:
é a função incógnita;
é sua derivada em relação a
;
e
são funções conhecidas (ou identificáveis) de apenas uma das variáveis.
Passo 3
Método de resolução passo a passo (o “manual” que se usa na prova).
- Verificar se a equação pode ser escrita na forma
. - Se sim, “separar” as variáveis: colocar todos os termos que dependem de
multiplicando num lado e todos os termos que dependem de multiplicando no outro lado. Tipicamente obtém-se uma identidade do tipo
- Integrar ambos os lados (integração indefinida):
onde
é a constante de integração. Explicar: cada integral é feita com respeito à sua variável; o sinal
representa a família de soluções.
4) Resolver a equação resultante para (se possível), obtendo a solução explícita
ou, pelo menos, uma solução implícita envolvendo
,
e
.
5) Verificar se existem soluções singulares (por exemplo, constantes) que a separação possa não ter capturado; isto é feito conferindo se existe constante que satisfaça a equação original.
4) Resolver a equação resultante para
5) Verificar se existem soluções singulares (por exemplo, constantes) que a separação possa não ter capturado; isto é feito conferindo se existe
Observação prática: ao integrar, escolha antiderivadas conhecidas (ex.:
quando
;
, etc.). Sempre coloque a constante de integração uma vez, no lado conveniente, e depois reorganize.
Passo 4
Aplicando o método à equação dada. Primeiro simplificar a expressão do lado direito.
A equação é
Usar a propriedade dos exponenciais
. Assim
Portanto a equação fica
que já está na forma
com
e
. Logo é separável.
Passo 5
Separar as variáveis conforme o método:
Partindo de
, dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para obter
Aqui usei
. Agora a parte em
está junto a
e a parte em
junto a
, pronto para integrar.
Passo 6
Integrar os dois lados. Calcular as antiderivadas:
- Lado esquerdo:
. Uma primitiva é , porque . - Lado direito:
. Uma primitiva é , porque .
Portanto, integrando,
dá
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Reorganizar a expressão para uma forma mais conveniente (implícita e/ou explícita).
A partir de
multiplicar ambos os lados por
:
onde
é outra constante arbitrária. É comum agrupar os termos exponenciais de
e a constante; uma combinação conveniente é multiplicar por
e definir uma nova constante
. Multiplicando por
:
Rearranjando,
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é uma forma implícita da solução geral.
Passo 8
Obter a forma explícita para
(quando possível) e discutir domínio.
Da forma
assumindo
(para que o logaritmo seja definido), podemos inverter a exponencial e tomar logaritmo para obter
Assim a solução explícita é
com
constante arbitrária e condicionado para cada solução ao domínio onde
.
Comentário sobre soluções constantes: não existe solução constante
constante que satisfaça a equação original, porque o lado direito
é sempre positivo para todo
, enquanto uma solução constante teria derivada zero; logo não há solução constante.
Passo 9
Resumo final da solução (formas equivalentes):
- Forma implícita conveniente:
onde
é constante arbitrária.
- Forma explícita (quando o interior do logaritmo for positivo):
com
constante arbitrária e domínio tal que
.
Resposta
(a) Uma equação diferencial de variáveis separáveis é uma equação de primeira ordem que pode ser escrita como
, com
dependendo só de
e
dependendo só de
. O método consiste em separar as variáveis para obter
, integrar ambos os lados e resolver para
, lembrando de incluir a constante de integração e verificar domínio e soluções singulares.
(b) Solução geral (formas equivalentes):